منابع و ماخذ پایان نامه استاندارد، دینامیکی

ریاضی مورد نیاز بر روی آنها پرداخته می شود. پس از آن سازه روبات و دستگاه های مختصات نصب شده روی آن و نیز سینماتیک آن مطالعه و بررسی می گردند.
٢-٢ -وضعیت دو دستگاه مختصات نسبت به یکدیگر
٢-٢-١ مکان
پس از نصب یک دستگاه مختصات، در حالت کلی می توان با یک بردار ١×٣ مکان یک نقطه را نسبت به یک مبدأ مختصات نمایش داد. از آنجا که اغلب، دستگاه های مختصات زیادی در یک روبات تعریف می شوند، بردارها با یک پیش نویس بالا که نمایانگر دستگاه مختصاتی است که بردار نسبت به آن تعریف شده است، نوشته می شوند. مقادیر عددی مؤلفه- های ^A P، تصویر آن بردار بر روی محورهای سه گانه دستگاه مختصات {A} خواهند بود (شکل ٢-١).
بردار مکان ^A P به صورت مجموعه مرتب از سه عدد، نمایش داده می شود که در آن هر مؤلفه بردار به شکل زیر نمایش داده می شوند.
^A P={x_(p ) y_(p ) z_p } ^T (٢-١)
شکل ٢-١- نمایش یک بردار نسبت به یک دستگاه
٢-٢-٢- جهت گیری
در مسائل مربوط به حرکت اجسام صلب (و نه ذرات) علاوه بر مکان جسم در فضا (اغلب مکان مرکز جرم مد نظر است)، تعریف جهت گیری آن نیز مورد نیاز می باشد. برای این کار، یک دستگاه مختصات محلی به جسم متصل می گردد و سپس جهت گیری آن نسبت به دستگاه مختصات مرجع بیان می گردد. برای نمونه در شکل (٢-٢)، دستگاه مختصات {B} به گیره روبات متصل شده است و برای مشخص شدن جهت گیری آن در فضا، بایست جهت گیری دستگاه مختصات {B} نسبت به دستگاه شناخته شده {A} محاسبه شود.
برای توصیف دستگاه مختصات {B} نسبت به دستگاه مختصات{A} کافی است بردارهای یکه سه محور اصلی آن در دستگاه مختصات{A} بیان شوند. بردارهای اصلی جهت های اصلی دستگاه مختصات {B}، با 〖k_B ،j〗_B 〖،i〗_B نشان داده می شوند و در دستگاه مختصات{A} به صورت〖〖〖 〗^A k〗_B ،^A j〗_B 〖،^A i〗_B نمایش داده خواهند شد.
شکل ٢-٢- مکان و جهت گیری گیره روبات نسبت به پایه
با فرض اینکه مبدأ دستگاه های مختصات{B} و {A} بر روی هم منطبق است، موقعیت یک بردار عمومی Pرا در هر دو دستگاه مختصات بیان می کنیم.
^B P=x_p i_B+y_p j_B+z_p k_B
^A P=x_p [(i_B.i_A ) i_A+(i_B.j_A ) j_A+(i_B.k_A ) k_A ]+y_p [(j_B.i_A ) i_A+(j_B.j_A ) j_A+(j_B.k_A ) k_A ] 〖+z〗_p [(k_B.i_A ) i_A+(k_B.j_A ) j_A+(k_B.k_A ) k_A ]
با مرتب کردن رابطه فوق در راستای بردارهای یکه داریم
^A P=[x_p (i_B.i_A )+y_p (j_B.i_A ) 〖+z〗_p (k_B.i_A )] i_A
+[x_p (i_B.j_A )+y_p (j_B.j_A ) 〖+z〗_p (k_B.j_A )] j_A
+[x_p (i_B.k_A )+y_p (j_B.k_A ) 〖+z〗_p (k_B.k_A )] k_A
رابطه بالا را می توان به شکل بسته زیر نشان داد.
(٢-٢)
^A P=^A R_B ^B P
که در آن رابطه زیر برقرار است.
(٢-٣)
^A R_B=[■(i_B.i_A&j_B.i_A&[email protected]_B.j_A&j_B.j_A&[email protected]_B.k_A&j_B.k_A&k_B.k_A )]
^A R_B ماتریس دوران20 دستگاه {A} نسبت به {B} نامیده می شود. در حالی که مکان یک نقطه در فضا با یک بردار بیان می شود، جهت گیری یک جسم صلب در فضا با یک ماتریس مشخص می گردد. از آنجا که حاصلضرب نقطه ای دو بردار یکه برابر با کسینوس زاویه بین آن ها می باشد، مؤلفه های ماتریس دوران را کسینوس های جهت21 می نامند.
با نگاهی به سطرهای ماتریس دوران^A R_B مشاهده می گردد که این سطرها، بیان بردارهای یکه{A} در دستگاه مختصات{B} هستند.
^A R_B=[■(〖^A i〗_B&〖 ^A j〗_B &〖〖 〗^A k〗_B )]=[■(^B i_A^[email protected]^B j_A^[email protected]^B k_A^T )]=[■(^B i_A&^B j_A&^B k_A )] ^T(٢-٤)
در نتیجه توصیف جهت گیری دستگاه مختصات{A} نسبت به{B} ، ترانهاده ماتریس^A R_B است.
(٢-٥)
^B R_A=^A R_B^T
این رابطه بیان می کند که وارون ماتریس دوران برابر با ترانهاده آن است. این خاصیت تعامد و یکه بودن ستون های ماتریس دوران را نتیجه می دهد.
(٢-٦)
^A R_B^T 〖 〗^A R_B=[■(^A i_B^[email protected]^A j_B^[email protected]^A k_B^T )][■(〖^A i〗_B&〖 ^A j〗_B &〖〖 〗^A k〗_B )]=I_(3 )
در رابطه بالا، I_3 یک ماتریس یکه ٣×٣ است. در نتیجه معکوس ماتریس دوران، ترانهاده آن می باشد.
(٢-٧)
〖 〗^A R_B=〖 〗^B R_A^(-1)=〖 〗^B R_A^T
در حالت کلی ماتریس R به شکل سطری از سه بردار ستونی نوشته می شود. با در نظر گرفتن این مسأله که طول این بردارها برابر با یک می باشد و این بردارها دو به دو بر هم عمود هستند، شش قید زیر میان نه عضو ماتریس برقرار می باشد.
(٢-٨)
R=[i j k]
که در آن روابط زیر بر درایه های R حاکم است.
(٢-٩)
|i|=1, |j|=1, |k|=1
(2-10)
i.j=0, i.k=0, j.k=0
با وجود شش رابطه میان نه درایه ماتریس دوران، می توان آنها را تنها بر حسب سه پارامتر مستقل از هم تعریف و کلیه نه عنصر ماتریس را بر حسب آن پارامترها بیان نمود.
٢-٢-٣- چارچوب (دستگاه مختصات)
داده های مورد نیاز برای مشخص کردن کامل وضعیت بازوها و گیره ( عموماً اجسام صلب نسبت به یکدیگر ) عبارت است از مکان و جهت گیری اجزای آن نسبت به یک مبدأ مختصات مرجع سراسری. در روبات ها، مکان و جهت گیری اجزای آن، برای تحلیل سینماتیکی و دینامیکی همزمان مورد نیاز هستند. برای این منظور هر چارچوب، با ماتریسی که که شامل ماتریس دوران و بردار مکان آن چارچوب نسبت به یک چارچوب مرجع است، تعریف می شود. چارچوب {B} به وسیله 〖 〗^A R_Bو 〖 〗^A P_(B|A)توصیف می شود که در آن〖 〗^A P_(B|A) بردار مکان مبدأ چارچوب {B} نسبت به چارچوب {A} و بیان شده در دستگاه مختصات {A} و 〖 〗^A R_Bماتریس دوران چارچوب {B} نسبت به چارچوب {A} است.
{B}={〖 〗^A R_B 〖 〗^A P_(B|A) } (٢-١١)
٢-٢-٤- نگاشت از یک چارچوب به چارچوب دیگر
در مسائل روباتیک، می بایست بردارهای سرعت، شتاب و … در دستگاه های مختصات مختلف محاسبه و بررسی گردند. در بخش های پیشین، مفهوم مکان، جهت گیری و چارچوب بررسی شدند و اکنون برخی مفاهیم و ملزومات نگاشت برای انتقال بردارها از یک چارچوب به چارچوب دیگر مورد بررسی قرار می گیرند. در فرآیند تغییر توصیف از یک چارچوب به چارچوب دیگر ماهیت بردار تغییر نمی کند، بلکه بیان آن متفاوت می گردد.
شکل ٢-٣- بیان یک بردار در دو دستگاه
جهت این امر، ابتدا ^B P را نسبت به چارچوب سومی که جهت گیری آن منطبق بر جهتگیری {A} و مبدأ آن منطبق بر مبدأ{B} است، با یک تبدیل دوران بیان می کنیم. سپس، انتقال بین دو مبدأ مختصات با جمع برداری دو بردار زیر به دست می آید (شکل ٢-٣).
^A P=〖 〗^A R_B ^B P+〖 〗^A P_(B|A)(٢-١٢)
رابطه (٢-١٢)، نگاشت بین مکان یک نقطه در چارچوب {B} و بین همان نقطه در چارچوب{A} را نشان می دهد. رابطه (٢-١٢) به صورت فشرده زیر نیز قابل بیان است.
^A P=〖 〗^A T_B ^B P(٢-١٣)
با این تعریف، نگاشت از یک چارچوب به چارچوب دیگر، تبدیلی از یک چارچوب به چارچوب دیگر است که به صورت عملگر ماتریسی T بیان می شود. برای نوشتن رابطه (٢-١٢) به شکل عملگرماتریسی معرفی شده در رابطه (٢-١٣)، نیاز به تعریف عملگر ماتریسی ٤×٤ و همچنین افزایش بردار مکان به یک بردار ١×٤ می باشد. بدین ترتیب، رابطه (٢-١٣) به صورت زیر نوشته می شود.
[■(^A [email protected])]=[■(〖 〗^A R_B&〖 〗^A P_(B|A)@[0 0 0]&1)][■(^B [email protected])](٢-١٤)
در این رابطه
عدد ١ به عنوان مؤلفه اضافی چهارم به بردار مکان اضافه شده است.
سطر [0 0 0] به عنوان آخرین سطر ماتریس T اضافه شده است.
رابطه (٢-١٤) بیانگر دو رابطه زیر می باشد که رابطه ١= ١ در آن یک رابطه بدیهی است.
(٢-١٥)
^A P=〖 〗^A R_B ^B P+〖 〗^A P_(B|A), ١= ١
ماتریس ٤×٤ در رابطه (٢-١٤) تبدیل همگن خوانده می شود که شامل دو عمل دوران و انتقال از دستگاهی به دستگاه دیگر است.
٢-٣- تبدیل های دوران
٢-٣-١- زوایای RPY
قبلاً گفته شد که ماتریس نه عنصری دوران تنها تابع سه پارامتر زاویه ای مستقل است. روش های استاندارد متنوعی برای بیان این ماتریس بر حسب سه زاویه دوران مستقل از هم وجود دارد. یکی از این روش های توصیف جهت گیری چارچوب{B} نسبت به چارچوب{A} استفاده از چارچوبی است که ابتدا بر چارچوب معلوم {A} منطبق است و سپس با سه دوران پیاپی دور محورهای چارچوب {A} بر چارچوب {B}منطبق می گردد (شکل ٢-٤).
شکل ٢-٤- زوایای X-Y-Z ثابت
در این روش ابتدا چارچوب {B} حول محور x_A به اندازه γ، موسوم به زاویه Yaw، سپس حول محور y_A به اندازه β موسوم به زاویه Pitch، و سرانجام حول محور z_A به اندازه α، موسوم به زاویهRoll دوران داده می شود. هر یک از این سه دوران، حول محوری از چارچوب ثابت {A} صورت می گیرد. این نوع بیان جهت گیری، بیان زوایای RPY که مخففRoll, Pitch, yaw است و یا بیان X-Y-Z ثابت نامیده می شود. کلمه ثابت به ثابت بودن چارچوبی که دوران ها دور محورهای آن انجام می گیرند، اشاره می کند.
به دست آوردن ماتریس دوران معادل〖 ^A R_B〗_XYZ (γ,β,α)با توجه به دوران دور محورهای چارچوب مرجع انجام می گیرد.
〖 ^A R_B〗_XYZ (γ,β,α)=R_Z (α) R_Y (β) R_X (γ) (٢-١٦)
که در آن ماتریس های دوران از روابط زیر محاسبه می شوند.
R_Z (α)=[■(cα&-sα&[email protected]α&cα&[email protected]&0&1)]
R_Y (β)=[■(cβ&0&sβ@0&1&[email protected]β&0&cβ)]
R_X (γ)=[■(1&0&[email protected]&cγ&-sγ@0&sγ&cγ)]
در این ماتریس های دوران cα مخفف cos(α)، و sαمخفف sin(α) می باشند. حاصلضرب ماتریس های دوران فوق، ماتریس دوران زیر می باشد که به تنهایی هر سه دوران فوق را بین دو دستگاه انجام می دهد.
(٢-١٧)
〖 ^A R_B〗_XYZ (γ,β,α)= [■(cαcβ&cαsβsγ-sαcγ&cαsβcγ+sαsγ@sαcβ&sαsβsγ+cαcγ&sαsβcγ-cαsγ@-sβ&cβsγ&cβcγ)]
در طراحی مسیر حرکت ( سینماتیک معکوس )، درایه های ماتریس دوران رابطه (٢-١٧) در روند طراحی از پیش معلوم است (رابطه ٢-١٨). برای محاسبه زوایای دوران در این حالت، ماتریس مذکور با ماتریس دوران رابطه (٢-١٨) برابر قرار داده می شود، با توجه به شش رابطه وابستگی، نه معادله همراه با سه مجهول حاصل می شود.
〖 ^A R_B〗_XYZ (γ,β,α)= [■(t_11&t_12&[email protected]_21&t_22&[email protected]_31&t_32&t_33 )] (٢-١٨)
از رابطه (٢-١٧) مشاهده می شود که با محاسبه جذر مجموع مربعات t_11 وt_(21 ) می توان cos(β) را به دست آورد. سپس زاویه β با گرفتن تانژانت معکوس از نسبت -t_31 به cos(β)محاسبه می شود. اگرcos(β)≠0 ، آنگاهα را با گرفتن تانژانت معکوس از نسبت t_21/cos(β) به t_11/cos(β) و γ را با گرفتن تانژانت معکوس نسبت 〖-t〗_32/cos(β) به t_33/cos(β) برای β∈(-π⁄2,π⁄2)به دست آورد.
β=atan2(-t_31,√(〖t_32〗^2+〖t_33〗^2 ))
α=atan2(t_21,t_11 ) (٢-١٩) γ=atan2(t_32,t_33 )
٢-٣-٢- زوایای اویلر
روش قبل، تنها روش جهت گیری یک چارچوب نسبت به یک چارچوب دیگر نیست. جهت گیری چارچوب {B} را می توان به صورتی دیگر نیز با شروع از چارچوبی که بر چارچوب {A} منطبق است، توصیف کرد. در این روش چارچوب {A} حول یکی از

دیدگاهتان را بنویسید