منابع و ماخذ پایان نامه جذب کننده

(٥-٢٤)
با انتخاب مناسب γ, β,p,q، با فرض مقدار اولیه x(0)≠0 دینامیک (٥-٢٤) در زمان محدود به x=0 خواهد رسید. رابطه (٥-٢٤) را می توانیم اینگونه تعبیر کنیم. هر گاه x از مبدأ دور باشد، دینامیک تقریبی x ̇=-γx خواهد شد که همگرایی سریع آن به سمت مبدأ کاملاً واضح است و هرگاه به مبدأ نزدیک باشد، دینامیک تقریبی x ̇=-β|x|^(q⁄p) sgn(x) خواهد شد که یک جذب کننده زمان محدود است.
از طرفی می توانیم معادله دیفرانسیل (٥-٢٤) را به صورت تحلیلی حل کنیم. زمان دقیق رسیدن به مبدأ،t^s ، توسط رابطه زیر تعیین می شود.
(٥-٢٥)
t^s=p/(γ(p-q)) ln (〖γx(0)〗^(((p-q))/p)+β)/β
و نقطه تعادل0 یک جذب کننده زمان محدود است.
٥-٤-٤-١- کنترل مد لغزشی زمان محدود روبات موازی هگزا
با تعمیم دادن رابطه (٥-٢٣) از حالت اسکالر به برداری، مد لغزشی زمان محدود روبات هگزا را به دست می آوریم. بدین منظور، برای راحتی و بدون از دست دادن عمومیت مسأله، رابطه زیر را معرفی می کنیم.
sig(y^* )^η=[|y_1^* | ^η sgn(y_1^* )… |y_n^* | ^η sgn(y_n^* )]^T (٥-٢٦)
که در آنy^*∈R^n یک بردار ستونی و η یک عدد حقیقی است. برای جلوگیری از تکینگی، تعریف زیر ارائه شده است .
E_r=[E_r1,…,E_rn ]^T
E_ri={█(α|E_i |^(α-1) (E_i ) ̇ E_i≠[email protected] E_i=0)┤ (٥-٢٧)
که در آن α=p_1⁄p_2 ، p_1 ،p_2 اعداد مثبت فرد هستند و 00 و λ_ii^20، به ترتیب ii امین جمله ماتریس Λ_1 وΛ_2 می باشند، i=1,2,…,n. حال به رابطه ای مشابه رابطه (٥-٢٣) رسیدیم که در آنx باE_i ، γ با λ_ii^1، β با λ_ii^2 و q/p با α جایگزین شده است.چنانچه مقدار اولیه E_iدر لحظه t=0 مخالف صفر باشد، آنگاه زمان همگرایی پاسخ سیستم (٥-٣٢) توسط رابطه زیر به دست می آید.
(٥-٣٣)
t_i^s=1/(λ_ii^1 (1-α)) ln (λ_ii^1 |E_i (0)| ^(1-α)+λ_ii^2)/(λ_ii^2 )
از آنجا که 1/2α<1، آنگاه α-1<0. پیش از اینکه خطاهای سیستم به صفر همگرا شوند، ممکن است که مؤلفه i ام خطای موقعیت مرکب در برخی نقاط صفر شود (E_i=0 ,E ̇_i≠0) و در نتیجه E_ri در عبارت (٥-٢٧) به بی نهایت میل کند. برای حفظ خاصیت محدود بودن، E_ri را در این نقاط صفر تعریف می کنیم. ٥-٥- کنترل فازی ٥-٥-١- مقدمه تئوری مجموعه فازی با موفقیت در بسیاری از زمینه ها مانند کنترل، مدل سازی، پردازش تصویر و سیگنال، علوم اجتماعی و سیستم های خبره استفاده می شود. هر چند کنترل فازی فعال ترین و موفق ترین زمینه در این بین می باشد. کنترل و مدل های فازی تنها از بخش کوچکی از ریاضیات و منطق فازی که به آسانی قابل فهم می باشد، استفاده می کند که در ادامه با آن آشنا خواهیم شد. پس از آشنایی با عبارات و مفاهیم منطق فازی، در بخش به تبیین و معرفی ساختار کنترلر های فازی می پردازیم. ٥-٥-٢- مجموعه های کلاسیک، مجموعه های فازی و منطق فازی ٥-٥-٢-١- محدودیت های مجموعه های کلاسیک در تئوری مجموعه کلاسیک، عضویت یک عنصر متعلق به یک مجموعه تنها می تواند دو مقدار بپذیرد: صفر و یک. یک عنصر یا کاملا به یک مجموعه تعلق دارد و یا به هیچ وجه به آن تعلق ندارد. مجموعه «صندلی ها»، «درختان» و «هواپیماها» چنین مجموعه هایی هستند که کوچکترین ابهامی درون خود ندارند. چنین مجموعه هایی را مجموعه های صریح می گویند. در زندگی روزمزه ما، مفاهیم مبهم فراوانی هستند که ما انسان ها به راحتی می توانیم آنها را توصیف کنیم، بفهمیم و با آنها ارتباط برقرار کنیم، ولی ریاضیات کلاسیک که شامل تئوری مجموعه ها نیز می شود، این قابلیت و توانایی را ندارد. مفهوم «جوانی» یک نمونه از این مفاهیم است. برای هر فردی سن او دقیق و مشخص است، هرچند نسبت دادن یک سن خاص به «جوانی» دشوار و مبهم است. چه سنی را جوان در نظر بگیریم و چه سنی را نه؟ این یک پرسش کاملا مشخص است و هیچ ارتباطی با احتمالات ندارد. مجموعه صریح فرضی «جوان» در شکل (٥-٣) نشان داده شده است. این مجموعه به دلیل تغییر ناگهانی درجه عضویت از ١ به ٠ در ٣٥ سالگی غیر منطقی به نظر می رسد. اگر چه می- توانیم از یک سن دیگر که در آن درجه عضویت از ١ به ٠ تغییر می کند، استفاده کنیم، ولی یک پرسش اساسی وجود دارد؟ چرا یک فرد ٩.٣٤ ساله کاملاً جوان است، در حالی که یک فرد ١.٣٥ ساله به هیچ وجه جوان نیست؟ هیچ مجموعه صریحی نمی تواند ماهیت مفهوم مبهم «جوانی» را چه به صورت کمی یا کیفی بیان کند، به گونه ای که با دریافت ما انسان ها با این مفهوم تطابق داشته باشد. شکل ٥-٣- یک توصیف ممکن از مفهوم مبهم «جوانی» توسط یک مجموعه صریح این مثال به هیچ عنوان به منظور بی اعتبار کردن تئوری مجموعه های کلاسیک نیست. برعکس، هدف نشان دادن این مطلب است که مجموعه های صریح و فازی دو مجموعه متفاوت و مکمل یکدیگر هستند که هر کدام محدودیت ها، مزایا و معایب خود را دارد. ٥-٥-٢-٢- مجموعه های فازی تئوری مجموعه فازی در سال ١٩٦٥ توسط پروفسور لطفی زاده در دانشگاه برکلی به منظور فائق آمدن بر مشکلات مجموعه های کلاسیک ارائه شد. این تئوری، پایه های محاسبات با واژگان را بنا نهاد. تئوری مجموعه های فازی درجات عضویت ١ و ٠ مجموعه های صریح را به یک تابع عضویت یک مجموعه فازی تعمیم می دهد. ٠ به معنای تعلق نداشتن کامل و ١ نشانگر تعلق کامل می باشد. برای نمونه، کسی ممکن است ١٠ سال سن را «جوان» با درجه عضویت ١، ٣٠ سال سن را «جوان» با درجه عضویت ٥/٠ و ٥٠ سال سن را «جوان» با درجه عضویت ١/٠ در نظر بگیرد. بدین معنی که هر فرد با هر سنی تا درجه ای «جوان» می باشد. با رسم درجات عضویت نسبت به سن، همانند آنچه که در شکل (٥-٤) نشان داده شده است، یک مجموعه فازی «جوان» تولید می کنیم. منحنی رسم شده در شکل (٥-٤) را تابع عضویت مجموعه فازی «جوان» می نامیم. سنین موجود از ٠ تا ١٠٠ یک فضای مورد بحث١ را تشکیل می دهند. با توجه به این مثال، مجموعه فازی را به شکل زیر تعریف می کنیم. مجموعه فازی: یک مجموعه فازی از یک فضای مورد بحث و یک تابع عضویت تشکیل می- شود که هر عضو از فضای مورد بحث را به یک درجه عضویت بین صفر و یک می نگارد. شکل ٥-٤- یک توصیف ممکن از مفهوم مبهم «جوانی» توسط یک مجموعه فازی معمولاً برای نمایش دادن مجموعه های فازی از حروف بزرگ تیلد دار استفاده می کنیم. اگر عضوی را با x∈Xنشان دهیم، که در آن X یک فضای مورد بحث می باشد، تابع عضویت --------------- ١ Universe of discourse مجموعه فازی A ̃ به صورت ریاضیاتی با μ_A ̃ (x)، μ_A ̃ و یا به صورت ساده تر با μ بیان می شود. افراد دیدگاه های مختلفی در باره یک مفهوم مبهم دارند. مجموعه های فازی به خوبی می- توانند با این واقعیت تطابق داشته باشند. نمونه پیش را ادامه می دهیم. برخی افراد ممکن است ٥٠ سال سن را «جوان» با درجه عضویت ٩/٠ فرض کنند، در حالی که برخی دیگر ٢٠ سال سن را «جوان» با درجه عضویت ٢/٠ می انگارند. توابع عضویت گوناگون می توانند برداشت های مختلف از مفهوم «جوانی» را توضیح دهند. حتی در مواردی ممکن است که یک شخص با توجه به زمینه ای که در آن مجموعه های فازی بیان می گردند، توابع عضویت گوناگونی را در نظر گیرد. برای مثال، یک مربی فوتبال ٤٠ ساله می تواند جوان در نظر گرفته شود، در حالی که یک بازیکن فوتبال ٤٠ ساله این طور نیست. حال، به معرفی برخی مفاهیم مورد نیاز برای تشریح کنترلر های فازی می پردازیم. مجموعه های فازی پیوسته: یک مجموعه فازی را پیوسته گویند هر گاه تابع عضویت آن پیوسته باشد. امروزه بیشتر کنترلرها و مدل های فازی از مجموعه های فازی پیوسته استفاده می کنند. مجموعه های فازی یگانه١: یک مجموعه فازی که تنها برای یک عضو از فضای مورد بحث مقدار درجه عضویت غیر صفر دارد، یک مجموعه فازی یگانه نامیده می شود. شکل (٥-٥) یک مجموعه فازی یگانه را نشان می دهد که مقدار عضویت در تمام اعضای آن به جز3.5 x= برابر صفر می باشد. ارتفاع یک مجموعه فازی: بیشترین درجه عضویت یک مجموعه فازی را ارتفاع آن مجموعه فازی گویند. برای مثال، ارتفاع مجموعه فازی «جوان» در شکل (٥-٤) برابر یک می باشد. ارتفاع مجموعه های فازی استفاده شده در کنترلرها و مدل های فازی یک می باشد. --------------- ١ Singleton fuzzy sets مجموعه های فازی طبیعی: یک مجموعه فازی را طبیعی گوییم هر گاه ارتفاع آن یک باشد. اگر ارتفاع یک مجموعه فازی برابر یک نباشد، آن مجموعه فازی را غیر طبیعی گوییم. شکل ٥-٥- نمونه ای از تابع عضویت یک مجموعه فازی یگانه مجموعه فازی محدب١: مجموعه فازی A ̃ را که فضای مورد بحث آن [a,b] است، محدب گوییم اگر و تنها اگر μ_A ̃ (λx_1+(1-λ) x_2 )≥min[μ_A ̃ (x_1 ),μ_A ̃ (x_2 )], (٥-٣٤) ∀x_1,x_2∈[a,b],∀λ∈[0,1] که در آن min[] عملگر کمینه کردن را نشان می دهد که از مقدار کوچکتر درجه عضویت دو تابع عضویت به عنوان نتیجه عملگر استفاده می کند. تابع عضویت نشان داده شده در شکل ۵-٦ محدب می باشد، در حالی که تابع نشان داده شده در شکل ۵-٧ اینگونه نیست. تعریف محدب بودن مجموعه های فازی لزوماً به معنای محدب بودن توابع فازی این مجموعه ها نیست. هرچند اگر تابع فازی یک مجموعه فازی محدب باشد، آن مجموعه محدب می باشد. کنترلر ها و مدل های فازی رایج از مجموعه های فازی محدب استفاده می کنند. یکی از مهم ترین مسائل در تئوری و همچنین کارهای عملی انتخاب مناسب تابع عضویت مجموعه های فازی می باشد که کنترل و مدل سازی فازی نیز از این قاعده مستثنی نیست. --------------- ١ Convex fuzzy sets شکل ٥-٦- نمونه یک تابع فازی محدب شکل ٥-٧- نمونه یک تابع فازی غیرمحدب سه راه کلی برای این امر وجود دارد. (١) پرسش از افراد خبره در زمینه کنترل/ مدلسازی برای تعریف کردن آنها؛ (٢) استفاده از داده ها برای سیستمی که قرار است کنترل/مدلسازی شود تا آنها را تولید کنیم؛ (٣) به دست آوردن آن در یک پروسه آزمون و خطا. هر کدام از این روش ها مزایا و معایب خود را دارد. در کاربردهای فراوانی نشان داده شده است که تنها چهار نوع تابع عضویت در بیشتر شرایط کفایت می کند: ذوزنقه ای، مثلثی(که حالتی خاص از ذوزنقه ای می باشد)، گاوسی و زنگوله شکل. همه این توابع عضویت پیوسته، طبیعی و محدب هستند. در بین این چهار تابع عضویت، از دو تای اول بیشتر استفاده می شود. در شکل ها، از توابع عضویت نامتقارن استفاده شده است تا حالت کلی تری را به نمایش بگذاریم. هرچند، در بیشتر مواقع، توابع عضویت مورد استفاده متقارن می باشند. شکل ٥-٨- نمونه هایی از چهار مجموعه فازی ورودی رایج در کنترل/مدلسازی فازی: (١)ذوزنقه ای، (٢) مثلثی، (٣) گاوسی، و (٤) زنگوله ای شکل ٥-٥-٢-٣- عملگرهای منطق فازی در تئوری مجموعه های کلاسیک، عملگرهای منطق دوتایی "و"، "یا" و"نه" و غیره وجود دارد. عملگرهای متناظر آن ها در تئوری مجموعه های فازی وجود دارد. عملگرهای منطق فازی "و" و "یا" در کنترل و مدلسازی فازی مورد استفاده قرار می گیرند. بر خلاف "و" و "یا" در منطق دوتایی که عملگر آنها تعریف واحدی دارد، متناظر آنها در منطق فازی اینگونه نیست. تعدادی عملگر منطق فازی "و" و"یا" تا کنون پیشنهاد شده است که برخی از آنها تنها جنبه تئوریک دارند. تنها عملگر فازی "و" زاده، عملگر فازی "و" ضربی، عملگر فازی "یا" زاده و عملگر فازی "یا" لوکاشیویتز در عمل ودر کنترل و مدلسازی دینامیکی مورد استفاده قرار می- گیرند. تعاریف آنها به این ترتیب است: μ_(A ̃∩B ̃ ) (x)=min(μ_A ̃ (x) 〖,μ〗_B ̃ (x)) عملگر منطق فازی "و" زاده μ_(A ̃∩B ̃ ) (x)=μ_A ̃ (x) 〖×μ〗_B ̃ (x)عملگر منطق فازی "و" ضربی μ_(A ̃∪B ̃ ) (x)=max(μ_A ̃ (x) 〖,μ〗_B ̃ (x))عملگر منطق فازی "یا" زاده μ_(A ̃∪B ̃ ) (x)=min(μ_A ̃ (x) 〖+μ〗_B ̃ (x),١)عملگر منطق فازی "یا" لوکاشیویتز ٥-٥-٣- فازی سازی34 در کنترل و مدلسازی فازی همیشه پروسه ای به نام فازی سازی در هر زمان نمونه گیری انجام می گیرد. فازی سازی یک روند ریاضیاتی برای تبدیل هر عضو در فضای مورد بحث به درجه عضویت مجموعه فازی می باشد. فرض کنید مجموعه فازی A ̃ روی[a,b] تعریف شده باشد؛ بدین معنی که فضای مورد بحث [a,b]می باشد؛ برای هرx∈[a,b]، نتیجه فازی سازیμ_A ̃ (x) خواهد بود. در شکل (٥-٩) نمونه ای نشان داده شده است که در آن فازی سازی در5 x=، برابر0.75 می باشد. 5-٥-٤- قوانین فازی35 یک کنترلر یا مدل فازی از قوانین فازی استفاده می کند، که عبارات زبانی اگر-آنگاه هستند که شامل مجموعه های فازی، منطق فازی واستنتاج فازی می شود. قوانین فازی نقش مهمی در نشان دادن دانش و تجربه کنترل/مدلسازی سیستم های خبره و ارتباط متغیرهای ورودی کنترلر/مدل فازی با متغیرهای خروجی ایفا می کنند. دو گروه عمده قوانین فازی وجود دارد، قوانین فازی ممدانی و قوانین فازی تاکاگی-سوگنو (به طور خلاصه، TS). از آنجا که در کنترل روبات هگزا از قوانین فازی ممدانی استفاده شده است، تنها به معرفی این دسته از قوانین بسنده می کنیم. ٥-٥-٤-١- قوانین فازی ممدانی یک قانون فازی ممدانی آسان که توصیف کننده حرکت یک خودرو است، در زیر آمده است: اگر سرعت زیاد "و" شتاب کم باشد، آنگاه ترمز کردن متوسط خواهد بود. که در آن سرعت و شتاب متغیرهای ورودی و ترمز کردن متغیر خروجی می باشد. "زیاد"، "کم" و "متوسط" مجموعه های فازی می باشند، که دو تای اول را مجموعه های فازی ورودی و آخری را مجموعه فازی خروجی می گوییم. متغیرها همچون عبارات زبانی، مانند زیاد، می توانند با عبارات ریاضیاتی بیان گردد. بنابراین، یک قانون فازی ممدانی کلی برای یک کنترلر یا مدل فازی به صورت زیر خواهد بود: اگرx_1، S ̃_1 باشد"و"…"و" x_m، S ̃_m باشد، آنگاهz_1، W ̃_1"و"…"و" z_n،W ̃_n خواهد بود. (٥-٣٥) که در آن x_i , i=1,2,…,m متغیر ورودی و z_j , j=1,2,…,n متغیرهای خروجی هستند. در تئوری، این متغیرها می توانند پیوسته یا گسسته باشند، هر چند در عمل باید گسسته باشند، زیرا همه کنترلرها و مدل های فازی باید روی کامپیوتر های دیجیتال اجرا شوند. گزاره "اگرx_1، S ̃_1 باشد"و"…"و" x_m، S ̃_m باشد" را پیشرو قانون گویند، در حالی که گزاره باقی مانده، پیرو یا نتیجه قانون نامیده می شود. همانطور که پیشتر نیز گفته شد، برای بیشتر کنترلرها و مدل های فازی، مجموعه های فازی پیوسته، طبیعی و محدب هستند. همچنین مجموعه های فازی خروجی از نوع یگانه هستند. بنابراین، قانون فازی ممدانی کلی را می توانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم: اگرx_1، S ̃_1 باشد"و"…"و" x_m، S ̃_m باشد، آنگاهz_1، β_1"و"…"و"z_n،β_n خواهد بود. (٥-٣٦) که در آنβ_j نشان دهنده مجموعه فازی یگانه W ̃_jمی باشد که تنها در z_j=β_j غیر صفر خواهد بود. ٥-٥-٥- استنتاج فازی١ استنتاج فازی گاهی استدلال فازی یا استدلال تقریبی گفته می شود و از آن در تعیین نتیجه یک قانون فازی از اطلاعات ورودی قانون استفاده می شود. هنگامی که اطلاعات مشخص به متغیرهای ورودی در پیشرو قانون اختصاص داده می شود، به استنتاج فازی برای محاسبه نتیجه متغیرهای خروجی در پیرو قانون نیاز داریم. قوانین فازی ممدانی وتاکاگی-سوگنو از روش های استنتاج فازی مختلف استفاده می- کنند. پرسش اساسی برای قانون فازی ممدانی کلی اینگونه است: با فرض x_i=α_i، برای تمام i ها، که در آنα_i اعداد حقیقی هستند،z_j چه مقداری باید باشد؟ برای کنترل و مدلسازی فازی، پس از فازی سازیx_i درα_i و اعمال عملگر منطق فازی "و" روی درجات عضویت حاصل شده در قانون فازی، یک درجه عضویت ترکیبیμ به دست می آوریم که نتیجه پیشرو قانون است. آنگاه این پرسش به وجود می آید که "آنگاه" قانون را چگونه محاسبه کنیم؟ محاسبه کردن "آنگاه" را استنتاج فازی گویند. مخصوصاً، می خواهیم بدانیم با دانستنμ،z_j چگونه محاسبه گردد. از آنجا که از نظر ریاضیاتی، محاسبات برای متغیرهای خروجی متفاوت، یکسان است، در نتیجه ازz وW ̃ به ترتیب برای نشان دادن z_i وW ̃ در ادامه بحث استنتاج فازی استفاده می کنیم. تعدادی روش استتاج فازی برای انجام این کار پیشنهاد شده است، ولی تنها از چهار روش در کنترل و مدلسازی فازی استفاده می شود. این روشها عبارتند از روش استنتاج کمینه ممدانی، --------------- ١ Fuzzy inference روش استنتاج ضرب لارسن، روش استنتاج ضرب قوی، وروش استنتاج ضرب محدود. از آنجا که در کنترلر فازی روبات هگزا از روش استنتاج کمینه ممدانی استفاده می کنیم، لذا برای جلوگیری از طولانی شدن مبحث، تنها به تعریف و نمایش آن بسنده می کنیم. تعریف این روش را در زیر مشاهده می کنیم که در آنμ_W ̃ (z) تابع عضویت مجموعه فازیW ̃ در قانون فازی و μ عضویت ترکیبی در پیشرو قانون است. همچنین برای درک بهتر مطلب، نمایش گرافیکی این تعریف را در شکل نشان داده ایم. min(μ〖,μ〗_W ̃ (z)), ها z تمام برایتعریف روش استنتاج فازی کمینه ممدانی شکل ٥-١٠- نمایش گرافیکی تعریف روش استنتاج فازی کمینه ممدانی ٥-٥-٦- غیرفازی سازی١ غیرفازی سازی یک پروسه ریاضیاتی برای تبدیل یک مجموعه فازی یا مجموعه های فازی به یک عدد حقیقی است. از آنجا که مجموعه های فازی تولید شده توسط استنتاج فازی در قوانین فازی باید به گونه ای ترکیب شوند که خروجی کنترلر یا مدل فازی تنها یک عدد باشد، در نتیجه این مرحله بسیار ضروری است. همچنین، موتورها یا محرک های مورد نیاز کنترل سیستم ها، تنها یک مقدار را به عنوان سیگنال ورودی می پذیرند. --------------- ١ Defuzzification هر کنترلر یا مدل فازی از یک غیرفازی ساز استفاده می کند که یک عبارت ریاضیاتی می- باشد. برای کنترلرها و مدل های فازی با بیش از یک متغیر خروجی، غیرفازی سازی برای هر کدام از آنها جداگانه ولی با یک روش واحد انجام می گیرد، هر چند از نظر تئوریکی می توان غیرفازی ساز های گوناگون برای متغیرهای خروجی گوناگون استفاده کرد. ٥-٥-٦-١- غیرفازی ساز عمومی١ غیرفازی ساز عمومی تعدادی غیرفازی ساز مختلف را در یک فرمول ریاضیاتی نمایش می دهد. فرض کنید متغیر خروجی یک کنترلر یا مدل فازیz می باشد. فرض کنید محاسبهN قانون فازی ممدانی با استفاده از یک روش استنتاج فازی خاص N درجه عضویتμ_n،…〖،μ〗_2 〖،μ〗_1 برایN مجموعه فازی خروجی یگانه (یک مقدار برای هر خروجی) تولید می کند و این مجموعه های فازی درz=β_1,β_2,…, β_(N ) غیر صفر باشند. آنگاه، با استفاده از غیرفازی ساز عمومی، نتیجه غیرفازی سازی زیر حاصل می شود. (٥-٣٧) z=(∑_(k=1)^N▒〖μ_k^α.β_k 〗)/(∑_(k=1)^N▒μ_k^α ) که در آنα یک پارامتر تنظیمی است. ٥-٥-٦-٢- غیرفازی ساز مرکز سطح٢ گونه های مختلف غیرفازی ساز توسط مقادیر مختلف α در غیرفازی ساز عمومی شناسایی می شود، که در آن0≤α+∞ می باشد. در این پایان نامه، از یکی از مؤثرترین روش های غیرفازی سازی به نام غیرفازی ساز مرکز سطح استفاده شده است. هنگامی کهα=1 باشد، پرکاربردترین غیرفازی ساز مرکز سطح به دست می آید. این غیر فازی ساز را غیرفازی ساز مرکز سطح می نامیم، زیرا مرکز سطح مجموعه های فازی یگانه قوانین مختلف را حساب می- کند. --------------- ١ Generalized defuzzifier ٢ Centroid defuzzifier ٥-٥-٧- ساختارکنترل فازی نخستین کنترل فازی توسط پروفسور ممدانی در سال ١٩٧٤ در دانشگاه لندن ارائه شد. هرچند، مفاهیم و پایه های تئوریکی سیستم ها و کنترل فازی چندین سال پیشتر توسط پروفسور لطفی زاده تبیین شده بودند. محرک اولیه این پارادایم جدید کنترلی بهره گیری از دانش و تجربه انسانی متصدی کنترل و ایجاد کنترلی است که بتواند تا حدودی رفتار کنترلی انسان را تقلید کند. کنترلر های فازی بیشتر مطلوب سیستم هایی هستندکه (١) مدل ریاضیاتی سیستم به شدت غیر خطی، متغیر با زمان و یا دارای تأخیر زمانی است و/یا (٢) کنترلر PID نتواند کارایی مطلوب سیستم را برآورده کند. با علم به نقاط قوت کنترل فازی شرایط نخست طبیعی و منطقی می باشد. با توجه به گسترش تکنیک های کنترل PID و روش های نوین طراحی کنترلر و به روز رسانی بهره ها در این روش کنترلی، در %٩٠ فرآیند های صنعتی از این کنترلر استفاده می شود. همچنین در گذر زمان نشان داده شده است که می توانیم از این نوع کنترلر برای سیستم هایی که ویژگی های ذکر شده در شرط اول را به طور ضعیف داشته باشند، استفاده کنیم. هر چند هنگامی که این ویژگی ها شدیدتر و مهم تر باشند، کنترلر های PID کارایی لازم را ندارند. بنابراین هنگامی که حداقل یکی از دو شرط بالا برقرار باشد، از کنترلر فازی استفاده می کنیم. در صورتی که دانش و تجربه افراد خبره نیز وجود نداشته باشد، این مورد برقرار است. زیرا در عمل می توانیم با شبیه سازی های بسیار کامپیوتری و یا روش های آزمون و خطا مانند استفاده از شبکه های عصبی عملکرد مورد نیاز کنترلر فازی را برآورده کرد. کنترلر های فازی از دو گونه عمده ممدانی و TS می باشند. این تقسیم بندی بر مبنای قوانین فازی استفاده شده انجام می گیرد. اگر یک کنترلر و یا مدل فازی از قوانین فازی ممدانی استفاده کند، به آن کنترلر و یا مدل فازی ممدانی گویند و در غیر این صورت آنرا کنترلر و یا مدل فازی TS گوییم. در ابتدا ساختار یک کنترلر فازی ممدانی تک ورودی-تک خروجی SISO را بررسی می- کنیم. شناخت ساختار این نوع کنترلر ما را با چگونگی عملکرد کنترلر روبات هگزا بیشتر آشنا خواهد کرد. شکل ٥-١١- ساختار یک کنترلر فازی ممدانی تک ورودی-تک خروجی شکل (٥-١١) ساختار یک سیستم کنترلی که از کنترلر فازی ممدانی تک ورودی-تک خروجی و یک سیستم تحت کنترل تشکیل شده است، را نشان می دهد. سیستم می تواند خطی و یا غیر خطی باشد و مدل آن ممکن است از نظر ریاضیاتی شناخته شده یا نا شناخته باشد. اجزای اصلی این کنترلر فازی را فازی سازی، پایگاه قوانین فازی، استنتاج فازی و غیر فازی سازی تشکیل می دهند که هر کدام به طور مجزا در بخش های پیشین توضیح داده شدند. حال به طور خلاصه نشان خواهیم داد که این اجزا چگونه با هم عمل می کنند تا کنترلر فازی کار کند. در شکل y(t) و y_d (t) به ترتیب نشان دهنده خروجی سیستم و خروجی مطلوب سیستم است. در دنیای واقعی، تمام کنترلرهای فازی از کامپیوترهای دیجیتال برای محاسبات خود استفاده می کنند، در نتیجه کنترلرهای فازی کنترلرهای زمان-گسسته هستند. برای اهداف عملی، نمی توانیم این کنترلرها را به عنوان کنترلرهای زمان-پیوسته در نظر بگیریم، هر چند در تئوری می توانیم هر دو مورد را برای این نوع کنترلرها مورد بحث قرار دهیم. در حالت زمان-گسسته، زمان نمونه گیری را با nT نشان خواهیم داد که در آن T دوره نمونه گیری است. به منظور سادگی بیشتر از n به جای nT در ادامه استفاده خواهیم کرد. در هر لحظه زمانی از y(n) و y_d (n) به منظور محاسبه متغیرهای ورودی کنترلر فازی استفاده می کنیم. در بسیاری از موارد، خطا و نرخ تغییرات خطای خروجی به عنوان متغیرهای ورودی استفاده می شود. از آنجا که با افزایش تعداد متغیرهای ورودی، تعداد قوانین فازی به طور چشمگیری افزایش پیدا می کند، تنها دو متغیر ورودی زیرکفایت می کند. (در برخی کنترلرها تنها خطای خروجی سیستم را به عنوان متغیر ورودی استفاده می کنند). e(n)=y_d (n)-y(n) (٥-٣٨) r(n)=e(n)-e(n-1) (٥-٣٩) هر کدام از متغیرهای ورودی بازه مربوط به خود را دارند و ما آن ها را به ترتیب با [a_1,b_1 ] و [a_2,b_2 ] نشان خواهیم داد که به عبارتی فضای مورد بحث آن ها نیز محسوب می شود. عوامل میزان کننده١جهت توزین متغیرهای ورودی پیش از فازی سازی استفاده می شوند (آن ها را عوامل میزان کننده ورودی گویند). هدف از انجام این کار طراحی آسانتر کنترل فازی است. با وجود این عوامل، مجموعه های فازی روی فضای مورد بحث توزین شده به جای [a_1,b_1 ] و [a_2,b_2 ] تعریف می شوند. با این کار قادر خواهیم بود تا به آسانی و با عوض کردن عوامل میزان کننده، فازی سازی متغیرهای ورودی را به طور مؤثرتری انجام دهیم. عوامل میزان کننده می توانند ثابت یا متغیر باشند و می توانند نقشی مانند بهره های کنترلی در کنترلر PID ایفا کنند. این عوامل معمولاً توسط روش های ابتکاری مانند شبکه های عصبی و یا دانش افراد خبره انتخاب می شوند. فرض کنید عوامل میزان کننده برای خطا و نرخ تغییرات خطا به ترتیب K_e و K_r باشد. خطای میزان شده برابر خواهد بود با 〖E(n)=K〗_e e(n) (٥-٤٠) و نرخ خطای میزان شده برابر خواهد بود با 〖R(n)=K〗_r r(n) (٥-٤١) --------------- ١ Scaling factor بدون از دست دادن عمومیت مسأله، فرض می کنیم E(n) و R(n)به ترتیب روی [A_1,B_1 ] و [A_2,B_2 ] تعریف شده اند. سپس متغیر های میزان شده توسط مجموعه های فازی ورودی فازی سازی می شوند. مجموعه های فازی ورودی مجموعه های فازی هستند که روی [A_1,B_1 ] و [A_2,B_2 ] تعریف شده اند. شکل چهار مجموعه فازی ورودی را برای E(n) نشان می دهد که به طور فرضی در کنترلر فازی استفاده می شوند. فرض کنید 2 K_e= و در زمان n=n^*، e(n^*)=1.2. آنگاه، E(n^*)=2.4. نتایج فازی سازی، نشان داده شده در شکل (٥-١٢)، درجات عضویت 0.2 برای مجموعه فازی مثبت کوچک و 0.6 برای مجموعه فازی مثبت بزرگ می باشد. درجات عضویت برای منفی کوچک و منفی بزرگ، صفر می باشد. شکل 5-12- نمایش چگونگی فازی سازی متغیرهای ورودی توسط مجموعه های فازی ورودی به منظور سادگی ریاضیاتی بیشتر، از یک سیستم اندیس گذاری عددی به منظور معرفی مجموعه های فازی استفاده می کنیم. برای نمونه، می توانیم برای نشان دادن چهار مجموعه فازی E(n) از A ̃_i، i=1,2,-1,-2 استفاده کنیم. بنابراین، {A ̃_(-2),A ̃_(-1),A ̃_1,A ̃_2} نشان دهنده {مثبت بزرگ، مثبت کوچک، منفی کوچک، منفی بزرگ} می باشد. همین کار را برای فازی سازی R(n) انجام می دهیم. فرض می کنیم کنترلر فازی از مجموعه های فازی {B ̃_(-2),B ̃_(-1),B ̃_0,B ̃_1,B ̃_2} برای فازی سازی R(n) استفاده می کند که نشان دهنده {مثبت بزرگ، مثبت کوچک، تقریباً صفر، منفی کوچک، منفی بزرگ} می باشد. بدون در نظر گرفتن تعریف دقیق این مجموعه های فازی، فرض می کنیم R(n^* )=3.5از r(n^* )=7 و K_r=2 محاسبه می شود و نتایج فازی سازی از قرار زیر است. μ_(B ̃_2 ) (r(n^* ))=0,μ_(B ̃_1 ) (r(n^* ))=0,μ_(B ̃_0 ) (r(n^* ))= 0.3 (٥-٤٢) μ_(B ̃_(-1) ) (r(n^* ))= 0.5,μ_(B ̃_(-2) ) (r(n^* ))=0 دو نکته مهم و ضروری را باید در مورد مجموعه های فازی در نظر بگیریم. نخست، مجموعه های فازی باید کل فضای مورد بحث توزین شده را پوشش دهند به طوری که به ازای هر مقدار از متغیر ورودی، حداقل یک مقدار غیر صفر درجه عضویت تولید کنند. دوم اینکه دوتابع عضویت مجاور هم پوشانی داشته باشند. ٥-٥-٧-١- قوانین فازی و استنتاج فازی نمونۀ یک قانون فازی ممدانی در زیر آمده است. اگر E(n) مثبت بزرگ و R(n) منفی کوچک باشد، آنگاه u(n) مثبت متوسط خواهد بود. (٥-٤٣) که در آن مثبت بزرگ و منفی کوچک مجموعه های فازی ورودی و مثبت متوسط مجموعه فازی خروجی خواهد بود. در ادامه این مبحث، از u(n) و U(n)برای نشان دادن خروجی و خروجی توزین شده کنترلر فازی استفاده می کنیم. در تئوری، مجموعه های فازی خروجی می توانند به هر شکلی باشند. هر چند، نتایج موفقیت آمیز فراوان در بهره گیری از مجموعه های فازی یگانه در خروجی کنترلر فازی، باعث استفاده گسترده از آن ها شده است. در شکل پنج مجموعه فازی خروجی یگانه نشان داده شده است. تعداد مجموعه های فازی خروجی به با تعداد مجموعه های فازی ورودی مرتبط است.اگر به ترتیب N_1 و N_2 مجموعه فازی ورودی متمایز برای E(n) و R(n) وجود داشته باشد، آنگاه N_1×N_2 ترکیب متفاوت از مجموعه فازی ورودی وجود دارد. در نتیجه، N_1×N_2 قانون فازی مختلف نیاز است و به تبع آن ممکن است به N_1×N_2 مجموعه فازی خروجی نیاز داشته باشیم. اما قوانین فازی طوری طراحی می شوند که برخی از آن ها از مجموعه های فازی خروجی یکسان استفاده می کنند که باعث کاهش قابل توجه تعداد قوانین فازی می- شود. با استفاده از سیستم اندیس گذاری عددی، یک قانون فازی عمومی به صورت زیر بیان می- شود اگر E(n)، A ̃_iو R(n)، B ̃_jباشد، آنگاه u(n)، V ̃_kخواهد بود. (٥-٤٤) اگر V ̃_k یک مجموعه فازی یگانه باشد که تنها در u(n)= V_k غیر صفر باشد، که در آن V_k یک عد حقیقی است، آنگاه قانون عمومی به شکل زیر در می آید. اگر E(n)، A ̃_iو R(n)، B ̃_jباشد، آنگاه u(n)، V_kخواهد بود. (٥-٤٥) برای هر قانون فازی، مجموعه فازی خروجی همیشه به طریق مشخصی با مجموعه های فازی ورودی مرتبط است، زیرا هر قانون نشان دهنده دانش یا تجربه بشری است. برای مثال در قانون (٥-٤٣)، مجموعه فازی خروجی مثبت متوسط با مجموعه های فازی ورودی مثبت بزرگ برای E(n) ومنفی کوچک برای R(n) در ارتباط است. به صورت عمومی تر، در قانون (٥-٤٥)، V_k به A ̃_i و B ̃_j بستگی دارد. این وابستگی را می توان با ارتباط اندیس های A ̃_i و B ̃_j به V_k به صورت زیر نشان داد. اگر E(n)، A ̃_iو R(n)، B ̃_jباشد، آنگاه u(n)، h(i,j) خواهد بود. (٥-٤٦) که در آن h(i,j)=V_(f(i,j)) 〖=V〗_k. کاملاً مشخص است که f() تابعی است که به ازای هر ترکیبی از j و i مقدار آن صحیح می باشد، در حالی کهh(i,j) هر تابع حقیقی می تواند باشد. در هر زمان نمونه گیری، تنها تعدادی از قوانین فازی فعال می شوند که درجه عضویت مجموعه های فازی E(n) و R(n) برای آن قانون، هر دو غیر صفر باشد. تنها این قوانین فعال شده در خروجی کنترلر فازی سهم دارند و در صورتی که حداقل یکی از این درجات عضویت غیر صفر باشد، قانون غیر فعال شده و در نتیجه تأثیری روی خروجی کنترلر ندارد. برای مثال مطرح شده در بخش قبل و با توجه به نتایج فازی سازی، از میان ٢٠ قانون فازی ممکن (N_1=4, ,N_2=5)، تنها چهار قانون فازی زیر فعال می شوند. اگر E(n)، A ̃_1و R(n)، B ̃_(-1)باشد، آنگاه u(n)، h(1,-1) خواهد بود. اگر E(n)، A ̃_1و R(n)، B ̃_0باشد، آنگاه u(n)، h(1,0) خواهد بود. اگر E(n)، A ̃_2و R(n)، B ̃_(-1)باشد، آنگاه u(n)، h(2,-1) خواهد بود. اگر E(n)، A ̃_2و R(n)، B ̃_0باشد، آنگاه u(n)، h(2,0) خواهد بود. درجات عضویت ایجاد شده در فازی سازی ابتدا توسط عملگر "و" منطق فازی در گزاره پیشرو قانون با هم ترکیب می شوند و نتیجه توسط استنتاج فازی با مجموعه فازی خروجی یگانه ارتباط داده می شود. همانطور که پیشتر نیز اشاره شد، چهار روش کلی برای استنتاج فازی وجود دارد که روش استنتاج کمینه ممدانی متداول ترین آن هاست. با استفاده از عملگر "و" منطق فازی زاده و استفاده از روش استنتاج کمینه ممدانی نتایج زیر حاصل می شود: μ_Z1=min(μ_(A ̃_1 ) (e(n^* )),μ_(B ̃_(-1) ) (r(n^* )))=min⁡(0.2,0.5)= 0.2 μ_Z2=min(μ_(A ̃_1 ) (e(n^* )),μ_(B ̃_0 ) (r(n^* )))= min⁡(0.2,0.3)= 0.2 μ_Z3=min(μ_(A ̃_2 ) (e(n^* )),μ_(B ̃_(-1) ) (r(n^* )))= min⁡(0.6,0.5)= 0.5 μ_Z4=min(μ_(A ̃_2 ) (e(n^* )),μ_(B ̃_0 ) (r(n^* )))= min⁡(0.6,0.3)= 0.3 ٥-٥-٧-٢- غیر فازی سازی درجات عضویت ترکیبی محاسبه شده در استنتاج فازی سرانجام توسط یک غیر فازی ساز به یک عدد تبدیل می شوند. در این مثال، بدون از دست رفتن عمومیت مسأله و با استفاده از غیرفازی ساز مرکز سطح، فرض می کنیم،h(1,-1)= 10 ،h(1,0)=h(2,-1)= h(2,0)=85 وK_u=1 . خروجی غیرفازی ساز در زمان n^* برابر خواهد بود با U(n^* )=K_u (μ_Z1 h(1,-1)+μ_Z2 h(1,0)+μ_Z3 h(2,-1)+μ_Z4 h(2,0))/(μ_Z1+μ_Z2+μ_Z3+μ_Z4 )=6.9 (٥-٤٧) عملیات فازی سازی، استنتاج فازی و غیر فازی سازی در هر دوره نمونه گیری انجام می- شود و خروجی جدید را تولید می کند. این مراحل تشکیل یک روند کاملاً عددی را می دهند و بر عکس کنترلرهای کلاسیک، ساختار صریحی که ارتباط بین ورودی و خروجی را در کنترلر فازی مشخص کند، وجود ندارد. نکته دیگری که با توجه به مثال ارائه شده می توان به آن اشاره کرد این است که بر اساس مدل ریاضیاتی کنترلر فازی ممدانی، کنترل فازی چیزی جز یک نگاشت غیر خطی بین ورودی و خروجی کنترلر نیست. به علاوه، کنترل فازی یک کنترل ساختار متغیر غیر خطی می باشد. در مثال مطرح شده، در فازی سازی، این پرسش که کدام مجموعه های فازی درجات عضویت غیر صفر تولید می کنند، به مقادیر e(n) و r(n) بستگی دارد و مشخص کننده این است که کدام قوانین فازی در استنتاج فازی فعال شوند. به عبارتی دیگر، مجموعه های فازی ورودی و خروجی استفاده شده در غیر فازی سازی با تغییر e(n) و r(n) از یک زمان نمونه گیری به دیگری، تغییر می کند. این تغییرات وابسته به زمان ساختار کنترلی، کنترلر فازی را یک کنترلر ساختار متغیر غیر خطی می سازد. ٥-٥-٨- کنترلر فازی تطبیقی مد لغزشی زمان محدود روبات هگزا و اثبات پایداری آن ٥-٥-٨-١- مقدمه کنترلر پیشنهادی برای روبات هگزا از ترکیب یک کنترلر فازی چند ورودی-چند خروجی، کنترلر مد لغزشی زمان محدود و یک طرح به روز رسانی تشکیل شده است. کنترلر مد لغزشی زمان محدود دارای مزایایی مانند همگرا شدن به مسیر دلخواه در زمان محدود و مقاوم بودن نسبت به اغتشاشات می باشد، بعلاوه برای سیستم های با دینامیک غیر خطی بسیار مفید می باشد. اما مانند هر کنترلر دیگری دارای کمبودهایی نیز هست. معمولاً این نوع کنترلر دارای دستور کنترلی با تعداد فراوان بهره می باشد. از آنجا که به دست آوردن این بهره ها با روش آزمون و خطا انجام می گیرد، در نتیجه به دست آوردن بهره هایی که شرایط پایداری لیاپانوف را برآورده کند، کمی سخت و زمان گیر می باشد. همچنین وجود بهره های بسیار بزرگ در این کنترلر ممکن است منجر به آشوب در سیستم شود. به منظور خنثی کردن این نقاط ضعف از یک کنترلر فازی تطبیقی استفاده می کنیم. ابتدا کنترلر مد لغزشی زمان محدود فازی را طراحی می- کنیم. در این کنترلر، s_i به عنوان متغیر ورودی سیستم فازی وτ_(i ) که همان نیرو و یا گشتاور موتورهاست، به عنوان متغیر خروجی سیستم فازی می باشند. سپس مجموعه های فازی متغیر های ورودی و خروجی، مجموعه قوانین فازی را تشکیل داده و با انتخاب یک غیر فازی ساز مناسب خروجی سیستم را تعیین می کنیم. اگر چه کنترلر مد لغزشی زمان محدود روشی مؤثر و کارآمد است، اما بزرگترین عیب آن این است که پارامترهای کنترلر فازی باید پیشتر توسط یک پروسه آزمون و خطا به دست بیاید. برای رفع این عیب و به منظور افزایش کارایی کنترلر، پارامترهای کنترلر به صورت درون خطی و بر اساس شرایط پایداری لیاپانوف به روز رسانی می شوند. ٥-٥-٨-٢- کنترل مد لغزشی زمان محدود روبات موازی هگزا طراحی کنترلر مد لغزشی زمان محدود را می توانیم به دو بخش تقسیم کنیم. بخش اول انتخاب یک سطح لغزشی زمان محدود مناسب است که پیشتر در رابطه (٥-٣١) آن را معرفی کردیم. بخش دوم شامل طراحی دستور کنترلی گسسته ای است که حالات سیستم را در راستای این سطح لغزشی بلغزاند و به پایداری سیستم بیانجامد. معادله دینامیکی روبات را این بار در حضور اغتشاش و یا دینامیک مدل نشده می نویسیم. M(q) q ̈+C(q,q ̇ ) q ̇+G(q)+T_d=τ (٥-٤٨) که در آن τ بردار ورودی کنترلی و T_d نمایانگر بردار ورودی تعمیم یافته ناشی از اغتشاش و دینامیک مدل نشده روبات می باشد. حال با توجه به روابط (٥-٢٩) و (٥-٤٨) نتیجه می گیریم. Ms ̇=τ-Mr ̈-Cs-Cr ̇-G-T_d (٥-٤٩) برای اثبات پایداری سیستم ، تابع لیاپانوف زیر را انتخاب می کنیم. V=1/2 s^T Ms (٥-٥٠) از رابطه بالا نسبت به زمان مشتق می گیریم. V ̇=s^T (τ-Mr ̈-Cr ̇-G-T_d ) (٥-٥١) دستور کنترلی زیر را انتخاب می کنیم. τ=-Ksgn(s) (٥-٥٢) که در آن K=diag[K_11,…,K_ii,…,K_nn ] یک ماتریس مثبت معین قطری و K_ii ،(i=1,2,…,n) اعداد ثابت مثبت می باشند. با جایگذاری (٥-٥٢) در (٥-٥١) نتیجه می شود. V ̇=s^T [B- Ksgn(s)]=∑_(i=1)^n▒〖s_i [B_i-K_ii sgn(s_i)] 〗 (٥-٥٣) که در آن B=-Mr ̈-Cr ̇-G-T_d(٥-٥٤) حال، دو حالت زیر را در نظر می گیریم. ١- هنگامی که s_i≠0 و E_i≠0. از روابط (٥-٢٨) و (٥-٥٤)، به راحتی می توان دریافت که هر گاه E و E ̇ محدود باشند، آنگاه B نیز محدود خواهد بود. با فرض 〖|B〗_i |<〖〖|B〗_i |〗^*، که در آن 〖〖|B〗_i |〗^* حد بالای 〖|B〗_i | می باشد، اگر K را طوری انتخاب کنیم که K_ii>|B_i | ^*(٥-٥٥)
رابطه بالا تضمین می کند که اگر K_ii به اندازه کافی بزرگ انتخاب شود، خطای موقعیت مرکب به سرعت به صفر همگرا شود .
هنگامی که s_i0، از رابطه (٥-٥٥) نتیجه می شود.
s_i [B_i-K_ii sgn(s_i )]<0(٥-٥٦) و زمانی که s_i<0، مجدداً داریم. s_i [B_i-K_ii sgn(s_i)]<0 (٥-٥٧) بنابراین (٥-٥٨) V ̇=∑_(i=١)^n▒〖s_i [B_i-K_ii sgn(s_i )]<0〗 ٢- هنگامی که s_i≠0 و E_i=0 باشد، دچار تکینگی می شویم که پیشتر راه های جلوگیری از آن را توضیح دادیم. در این حالت نیز می توان به راحتی نشان داد که با فرض محدود بودن e و e ̇ و انتخاب K به گونه ای که K_ii>|B_i | ^* باشد، آنگاه V ̇<0 خواهد بود. ٥-٥-٨-٣- کنترلر فازی مد لغزشی زمان محدود اگر چه کنترلر مد لغزشی زمان محدود مطرح شده در قسمت قبل می تواند خطای موقعیت مرکب و خطای تعقیب را بطور همزمان به صفر میل دهد، اما معایبی نیز دارد. برای اینکه خطای تعقیب و موقعیت مرکب همگرا شوند، هر K_ii باید به گونه ای انتخاب شود که خیلی بزرگ باشد. متأسفانه، این بهره بزرگ کنترلی ممکن است به آشوب ناخواسته در سیستم منجر شود. در این بخش، یک کنترل فازی مد لغزشی زمان محدود تک ورودی-تک خروجی برای کاهش آشوب ارائه شده است. از رابطه (٥-٥٢)، بهره کنترلر منطق فازی u را به منظور جایگزینی ورودی کنترلی Ksgn(s) انتخاب می کنیم. قانون کنترلی جدید را می توانیم به صورت زیر باز نویسی کنیم. τ=-u (٥-٥٩) که در آن u=[u_1,…,u_i,…,u_n ]^T. بنابراین، علامت u_i درست همانند s_i است. با جایگذازی (٥-٥٩) در (٥-٥٣) نتیجه می شود. (٥-٦٠) V ̇=s^T [B- u]=∑_(i=1)^n▒〖s_i [B_i-u_i ] 〗 بنا براین، هنگامی که |s_i | بزرگ باشد، از رابطه (٥-٥٤) نتیجه می شود |B_i | نیز بزرگ خواهد بود، بطوریکه |u_i | باید مقداری بزرگ داشته باشد. هنگامی که |s_i | کوچک باشد، از رابطه (٥-٥٤) نتیجه می شود |B_i | نیز کوچک خواهد بود، بطوریکه |u_i | می تواند مقداری کوچک داشته باشد. آنگاه |u_i | کوچک آشوب را کاهش خواهد داد. هنگامی که s_i صفرباشد، آنگاه V ̇=0. از این بررسی ها به آسانی می توان دریافتV ̇≤0 و همگرایی همزمان خطای تعقیب و موقعیت مرکب به صفر را نتیجه گرفت. قوانین فازی می توانند به صورت زیر باشند: اگر s_i منفی بزرگ باشد، آنگاه u_i نیز منفی بزرگ خواهد بود. اگر s_i منفی باشد، آنگاه u_i نیز منفی خواهد بود. اگر s_i صفر باشد ، آنگاه u_i نیز صفر خواهد بود. اگر s_i مثبت باشد ، آنگاه u_i نیز مثبت خواهد بود. اگر s_i مثبت بزرگ باشد ، آنگاه u_i نیز مثبت بزرگ خواهد بود. که در آن s_i متغیر ورودی سیستم فازی و u_i متغیر خروجی سیستم فازی هستند. هر دوی آن ها به پنج زیر مجموعه فازی منفی بزرگ NB، منفی N، صفر Z، مثبت بزرگ PB و مثبت P تقسیم بندی شده اند. تابع عضویت مثلثی شکل s_i و تابع عضویت یگانه u_i در شکل (٥-١٤) نشان داده شده است. با استفاده از غیر فازی سازی مرکز سطح، خروجی سیستم فازی را می توان به صورت زیر نوشت. (٥-٦١) u_ic=(∑_(R=1)^M▒〖V_iR μ_R (s_i)〗)/(∑_(R=1)^M▒〖μ_R (s_i)〗) که در آن M تعداد قانون ها، V_iR تابع عضویت یگانه مربوطه u_i و μ_R (s_i) درجه عضویت ترکیبی قانون R ام است. آنگاه، خروجی کنترلر فازی مد لغزشی زمان محدود برابر خواهد بود با: u_i=f_i u_ic (٥-٦٢) که در آن f_i عامل میزان کننده متغیر خروجی است . چنانچه f_i به اندازه کافی بزرگ باشد، به طوری که شرط زیر را ارضا کند. |f_i u_ic |>|B_i | ^*(٥-٦٣)
آنگاه
(٥-٦٤)
V ̇=∑_(i=١)^n▒〖s_i [B_i-u_i ] 〗=∑_(i=١)^n▒〖s_i [B_i-f_i u_ic ] 〗<0 می توان تضمین کرد که خطاهای سیستم با شرط s_i≠0 به صفر همگرا می شوند . در سیستم فازی تک ورودی-تک خروجی، هر u_i تنها با یک سیستم فازی منحصر به فرد استنتاج می شود. برای به دست آوردن کارایی خوب، نباید اثر کوپلینگ رابه ویژه در مورد روبات ها نادیده گرفت و آنها را جداگانه در نظر گرفت. ساختار کنترل فازی چند ورودی-چندخروجی نه تنها قابلیت مدل سازی دینامیک های کوپل را دارد، بلکه باعث افزایش کارایی سیستم و مقاوم بودن آن می شود. دیاگرام کنترل فازی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چندخروجی در شکل (٥-١٥) نشان داده شده است. خروجی i ام سیستم استنتاج فازی را می توانیم به شکل زیر نوشت. (٥-٦٥) u_ic=(∑_(R=1)^M▒〖V_iR μ_R (s_i ) 〗)/(∑_(R=1)^M▒〖μ_R (s_i ) 〗)=W_i^T V_i که در آن M تعداد قوانین و V_i=[V_i1,…,V_iR,…,V_iM ]^T پارامتر های ثابت و W_i=[w_i1,…,w_iR,…,w_iM ]^T که در آن هر متغیر w_iR بعنوان تابع پایه فازی به صورت زیر تعریف می شود. (٥-٦٦) w_iR=(μ_R (s_i ))/(∑_(R=1)^M▒〖μ_R (s_i ) 〗) آنگاه، i امین خروجی کنترلر فازی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چندخروجی به صورت زیر بیان می شود. (٥-٦٧) u_i=∑_(j=1)^n▒f_ij u_jc که در آن f_ij عامل میزان کننده خروجی j ام سیستم استنتاج فازی برای i امین متغیر خروجی است. شرط پایداری سیستم این است که f_ij را به مقداری بزرگ انتخاب کنیم که شرط زیر را ارضا کند. (٥-٦٨) |∑_(j=١)^n▒f_ij u_jc |>|B_i | ^*
آنگاه
(٥-٦٩)
V ̇=∑_(i=١)^n▒〖s_i [B_i-u_i ] 〗=∑_(i=١)^n▒〖s_i [B_i-∑_(j=١)^n▒f_ij u_jc ] 〗<0 بنابراین، می توان همگرایی خطای موقعیت مرکب و تعقیب مسیر را با شرطs_i≠0 تضمین کرد. ٥-٥-٨-٤- کنترلر فازی تطبیقی مد لغزشی زمان محدود اگر چه کنترل فازی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چند خروجی روشی مؤثر و کارآمد است، اما بزرگترین عیب آن این است که عامل میزان کننده خروجی کنترلر فازی باید پیشتر توسط یک پروسه آزمون و خطا به دست بیاید. برای رفع این عیب، در این بخش یک روش نو برای روبات ها ارائه شده است. قانون به روز رسانی بر اساس شرایط پایداری لیاپانوف بنا شده است. به منظور افزایش کارایی کنترلر فازی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چند خروجی، عامل میزان کننده متغیر خروجی در مکانیزم فازی و مقدار خروجی جبران ساز به صورت درون خطی به روز رسانی می شود. ساختار پایه کنترلر فازی تطبیقی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چند خروجی در شکل (٥-١٦) نشان داده شده است. حال، خروجی کنترلر فازی تطبیقی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چند خروجی را برای کنترل روبات به صورت زیر تعریف می کنیم. τ=-u-ρs (٥-٧٠) u=f.u_c خروجی کنترلر فازی تطبیقی می باشد که در آن u_c خروجی سیستم استنتاج فازی و f عامل میزان کننده متغیر خروجی است. ρsمقدار خروجی جبران ساز می- باشد که در آن ρ=diag[a_1+σ_1,…,a_i+σ_i,…,a_n+σ_n ](٥-٧١) شکل ٥-١٦- ساختار یک کنترلر فازی تطبیقی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چندخروجی ρ یک ماتریس قطری مثبت معین است که در آن a_i یک ثابت مثبت و σ_i یک مقدار مثبت است. با جایگذاری (٥-٧٠) در (٥-٤٩) نتیجه می شود. Ms ̇=-Cs+B-u-ρs (٥-٧٢) f^* را به عنوان عامل میزان کننده تخمین بهینه B تعریف می کنیم. آنگاه، خطای تخمین بهینه 〖،w〗_i>0 (i=1,…,n) وجود دارد که شرط زیر را ارضا کند.
〖|B〗_i-∑_(j=١)^n▒f_ij^* u_jc |≤w_i
(٥-٧٣)
خطای عامل میزان کننده متغیر خروجی فازی را به صورت زیر تعریف می کنیم.
f ̃_ij=f_ij-f_ij^* (٥-٧٤)
آنگاه
(٥-٧٥)
∑_(j=1)^n▒f_ij u_jc=∑_(j=1)^n▒f ̃_ij u_jc+∑_(j=1)^n▒f_ij^* u_jc
σ_i^* |s_i |را به عنوان حد بالای خطای تخمین بهینه w_i تعریف می کنیم، بدین معنی که
w_i≤σ_i^* |s_i | (٥-٧٦)
و σ_i |s_i | مقدار جبرانی برای خطای تخمین بهینه w_i می باشد. تعریف می کنیم
σ ̃_i=σ_i-σ_i^* (٥-٧٧)
تابع لیاپانوف زیر را انتخاب می کنیم.
(٥-٧٨)
V=1/2 (s^T Ms)+1/2 ∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/(2γ_ij ) 〖f ̃_ij〗^2 〗+∑_(i=1)^n▒1/(2η_i )〗 〖σ ̃_i〗^2
از آنجا که M یک ماتریس مثبت معین متقارن است، 〖f ̃_ij〗^20، 〖σ ̃_i〗^20، γ_ij و η_i ثابت های مثبت هستند، آنگاه V مثبت معین خواهد بود. با مشتق گرفتن ازV نتیجه می- گیریم.
V ̇=1/2 (s ̇^T Ms+s^T M ̇s+s^T Ms ̇ )+∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij 〗+〗 ∑_(i=1)^n▒1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i
=s^T [Ms ̇+Cs]+∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij 〗+〗 ∑_(i=1)^n▒1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i
=s^T [-Cs+B-u-ρs+Cs]+∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij 〗+〗 ∑_(i=1)^n▒1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i
=s^T [B-u-ρs]+∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij 〗+〗 ∑_(i=1)^n▒1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i
=∑_(i=1)^n▒〖s_i [B_i-∑_(j=1)^n▒f_ij u_jc-a_i s_i-σ_i s_i ]+〗 ∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij 〗+〗
∑_(i=1)^n▒1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i
(٥-٧٩)
با توجه به اینکه ∑_(j=1)^n▒f ̃_ij u_jc+∑_(j=1)^n▒f_ij^* u_jc=∑_(j=1)^n▒f_ij u_jc، از معادله (٥-٧٩) نتیجه می شود.
V ̇=∑_(i=1)^n▒〖s_i [B_i-(∑_(j=1)^n▒f ̃_ij u_jc+∑_(j=1)^n▒f_ij^* u_jc )-a_i s_i-(σ ̃_i s_i+σ_i^* s_i )]+〗
∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij 〗+〗 ∑_(i=1)^n▒1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i=∑_(i=1)^n▒- 〖s_i a〗_i s_i
+∑_(i=1)^n▒[s_i (B_i-∑_(j=1)^n▒f_ij^* u_jc )-s_i σ_i^* s_i ]
+∑_(i=1)^n▒(∑_(j=1)^n▒〖1/γ_ij f ̃_ij f ̃  ̇_ij-〗 s_i ∑_(j=1)^n▒f ̃_ij u_jc ) +∑_(i=1)^n▒〖(1/η_i σ ̃_i σ ̃  ̇_i-s_i σ ̃_i s_i ) 〗
(٥-٨٠)
از آنجا که s_i (B_i-∑_(j=1)^n▒f_ij^* u_jc )≤|s_i ||B_i-∑_(j=1)^n▒f_ij^* u_jc |≤|s_i | w_i، آنگاه داریم
(٥-٨١)
V ̇≤∑_(i=1)^n▒- 〖s_i a〗_i s_i+∑_(i=1)^n▒〖(|s_i | w_i-s_i σ_i^* s_i )+〗
∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖f ̃_ij (1/γ_ij f ̃  ̇_ij-s_i u_jc ) 〗+〗 ∑_(i=1)^n▒〖σ ̃_i (١/η_i σ ̃  ̇_i-s_i^2 ) 〗
از آنجا که w_i≤σ_i^* |s_i |، نتیجه می شود
|s_i | w_i≤σ_i^* |s_i ||s_i |=σ_i^* |s_i | ^2=σ_i^* s_i^(2 ) (٥-٨٢)
در نتیجه
(٥-٨٣)
V ̇≤∑_(i=1)^n▒- 〖s_i a〗_i s_i+∑_(i=1)^n▒〖∑_(j=1)^n▒〖f ̃_ij (1/γ_ij f ̃  ̇_ij-s_i u_jc ) 〗+〗
∑_(i=1)^n▒〖σ ̃_i (١/η_i σ ̃  ̇_i-s_i^2 ) 〗
اگر قوانین به روز رسانی را به صورت زیر انتخاب کنیم
f ̇_ij=〖 f ̃  ̇〗_ij=γ_ij s_i u_jc (٥-٨٤)
σ ̇_i=σ ̃  ̇_i=η_i s_i^(2 ) (٥-٨٥)
آنگاه
(٥-٨٦)
V ̇≤∑_(i=1)^n▒- 〖s_i a〗_i s_i
از آنجا که (i=١,…,n)، a_i ثابت مثبت می باشند، هر گاه s≠0 آنگاه V ̇0. بنابراین، کنترلری با قوانین به روز رسانی (٥-٨٤) و (٥-٨٥) خطاهای تعقیب مسیر و موقعیت مرکب را در زمان محدود به صفر همگرا می کند. از طرفی با استفاده از تئوری پایداری لیاپانوف، پایداری سیستم تحت ورودی کنترلی فازی تطبیقی مد لغزشی زمان محدود چند ورودی-چند خروجی را اثبات کردیم.
٥-٦- نتایج عملی کنترل مدار بسته برای روبات هگزا
قانون کنترلی معادله (٥-٧٠) را بر روی چهار مسیر مختلف برای روبات هگزا اعمال کردیم. با توجه به روابط (٤-١٠) و (٤-١١) همگرایی خطای موقعیت به همگرایی خطای همزمان سازی و موقعیت مرکب نیز می انجامد. در نتیجه تنها به تحلیل نمودارهای خطای موقعیت پرداخته ایم. نهایتاً با تغییر پارامترهای کنترلر و بر اساس شاخص های کنترلی انتگرال قدر مطلق خطا (IAE) و انتگرال مقدار مجذور (ISV) گشتاور موتورها که نشان دهنده انرژی مصرفی است، عملکرد کنترلر را برای حالات مختلف بررسی می کنیم.
5-6-1- جابجایی صفحه متحرک در جهت z_B
〖^B x〗_(P|B)=[0,0,-8 cos⁡(π/4)+cos⁡(π/12)sin⁡(0.1t+π/3),0,0,0]
شکل ٥-١٧- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره ١روبات هگزا
شکل ٥-١8- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 2روبات هگزا
شکل ٥-١٩- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره ٣روبات هگز
شکل ٥-٢٠- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره ٤روبات هگزا
شکل ٥-٢١- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره ۵ روبات هگزا
شکل 5-22- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 6 روبات هگزا
5-6-2- دوران صفحه متحرک حول محورy_B
〖^B x〗_(P|B)=[0,0,0,0,-0.1t,0]
شکل 5-23- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 1 روبات هگزا
شکل 5-24- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 2 روبات هگزا
شکل 5-25- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 3 روبات هگزا
شکل 5-26- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 4 روبات هگزا
شکل 5-27- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 5 روبات هگزا
شکل 5- 28- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 6 روبات هگزا
٥-٦-٣- جابجایی صفحه متحرک در جهت x_B
〖^B x〗_(P|B)=[0.2+0.1t,0,0,0,0,0]
شکل 5-29- خطای تعقیب مسیر بازوی شماره 1 روبات

دیدگاهتان را بنویسید