منابع و ماخذ پایان نامه دینامیکی، مدلسازی، ماتریس انتقال

همانطور که در فصل پیش گفته شد، روبات هگزا یک روبات شش درجه آزادی است که از شش زنجیر سینماتیک مشابه که سبک و صلب هستند، تشکیل شده است. سبکی زنجیره ها به دلیل آلومینیومی بودن بازوها و میله ها و نصب موتورها بر روی پایه ثابت روبات هگزا است. هر زنجیره شامل یک بازو، یک میله و دو اتصال کروی است. بازو بین گیربکس و میله و میله بین بازو و صفحه متحرک قرار گرفته است. تمام زنجیرها از یک طرف به یک صفحه ثابت و از طرف دیگر به یک صفحه متحرک وصل شده اند.
بدین ترتیب هر زنجیر شامل سه مفصل می باشد که مفصل اول یا مفصل متصل به موتور از نوع چرخشی و مفصل های دوم و سوم از نوع کروی هستند (شکل ٢-٧).
شکل ٢-٧- معرفی اجزای روبات هگزا
هر موتور از طریق مفصل چرخشی به یک بازو متصل می شود و بازوی مربوط به خود رابه حرکت در می آورد. به مفصل هایی که توسط یک موتور به حرکت در می آیند، مفصل فعال و به مفصل هایی که به هیچ نیروی خارجی متصل نیستند، مفصل غیر فعال گفته می شود.بر این اساس روبات هگزا شش مفصل چرخشی از نوع فعال و دوازده مفصل کروی از نوع غیر فعال دارد و مجموعاً هجده مفصل دارد. در شکل زاویه θ_i معرف زاویه بازوی i ام نسبت به سطح افق، l طول بازوی بین مفاصل چرخشی و کروی و h طول میله بین دو مفصل کروی است.
شکل (٢-٨) نمای بالای پایه روبات که موتورها روی آن نصب شده اند و نقاط B_i که مکان قرار گرفتن مفاصل چرخشی روبات هگزاست، را نشان می دهد. این نقاط در رئوس یک شش ضلعی نیمه متقارن که در داخل دایره ای به شعاع r_b محاط شده اند، قرار دارند. زاویه جدایی بین نقاط 〖 B〗_6 و〖 B〗_1،B_2 وB_3 ، وB_5 و B_4 با2Φ_B نشان داده شده است. به طور مشابه، P_iمکان قرار گرفتن مفصل کروی i ام روی صفحه متحرک می باشد. زاویه جدایی بین نقاط 〖 P〗_(6 ) و〖 P〗_1،P_2 وP_3 ، و P_5 وP_4 برابر با2Φ_P و شعاع دایره محیط صفحه متحرک برابر با r_P است.
شکل ٢-٨- مکان قرار گرفتن مفاصل چرخشی روی پایه روبات
بنابراین مختصات نقاط 〖 B〗_iو P_i نسبت به دستگاه مختصات چسبیده به پایه و صفحه متحرک روبات هگزا به ترتیب برابر است با
^B b_i=[r_b.cosλ_i r_b.sinλ_i 0 ]^T (٢-٣٦)
〖^P p〗_i=[r_p.cosγ_(i ) r_p.sinγ_i 0 ]^T (٢-٣٧)
که در آن
λ=[Φ_B,〖120〗^°-Φ_B,〖120〗^°+Φ_B,〖240〗^°-Φ_B,〖240〗^°+Φ_B,〖360〗^°-Φ_(B ) ]^T (٢-٣٨)
γ=[Φ_P,〖120〗^°-Φ_P,〖120〗^°+Φ_P,〖240〗^°-Φ_P,〖240〗^°+Φ_P,〖360〗^°-Φ_(P ) ]^T (٢-٣٩)
٢-٦-٢- حل مسأله سینماتیک معکوس در روبات موازی هگزا
اگرچه استاندارد دناویت-هارتنبرگ روشی کلی برای توصیف اجزای هر روبات نسبت به یکدیگر است، اما عموماً در روبات های موازی استفاده از آن به دلیل ضرب ماتریس های تبدیل در زنجیره های بسته سینماتیکی حجم عملیات را زیاد و در نتیجه سرعت تحلیل مسأله را کاهش می دهد. لذا در بیشتر روبات های موازی بجای استفاده از این اصول از روش های هندسی برای محاسبه وضعیت روبات استفاده می شود. در این روش، معمولاً یک رابطه برداری از مبدأ دستگاه پایه آغاز شده و تمام یک حلقه را پیموده و به نقطه ابتدایی باز می گردد.
به منظور مدل سازی سینماتیکی، دو چارچوب {P}و {B} به ترتیب به صفحه متحرک و پایه متصل می گردند که مبدأ آن ها در مرکز جرم صفحه متناظر قرار می گیرد. موقعیت تعمیم یافته چارچوب {P}نسبت به چارچوب {B}توسط بردار زیرنمایش داده می شود.
〖^B x〗_(P|B)=[x_P y_P z_P ψ_P ζ_P φ_P ]^T=[■(〖^B x〗_(P(pos)|B)@〖^B x〗_(P(rot)|B) )] (٢-٤٠)
که در آن 〖^B x〗_(P(pos)|B)=[x_P y_P z_P ]^T موقعیت مبدأچارچوب{P} نسبت به چارچوب {B}و بیان شده در دستگاه مختصات متصل به چارچوب {B}و Bx_(P(rot)|B)=[ψ_P ζ_P φ_P ]^(T ) یک سیستم زوایای اویلرکه نشان دهنده جهت چارچوب {P} نسبت به چارچوب {B} است، می باشد. سیستم زوایای اویلر استفاده شده بدین ترتیب است:ψ_P حولz_P، ζ_Pحول محورy_P دوران یافته و φ_P حول محور x_P دوران یافته. با توجه به رابطه (٢-٢٠) ماتریس دوران متناظر با دوران مربوطه به شکل زیر در می آید:
〖^B R〗_P=[■(cψ_P cζ_P&cψ_P sζ_P sφ_P-sψ_P cφ_P&cψ_P sζ_P cφ_P+sψ_P sφ[email protected]ψ_P cζ_P&sψ_P sζ_P sφ_P+cψ_P cφ_P&sψ_P sζ_P cφ_P-cψ_P sφ[email protected]ζ_P&cζ_P sφ_P&cζ_P cφ_P )] (٢-٤١)
s(.) و c(.) به ترتیب نمایانگر توابع سینوس و کسینوس هستند.
حال با استفاده از جبر برداری به حل مسأله سینماتیک معکوس روبات هگزا می پردازیم و ماتریس ژاکوبین آن را به دست می آوریم. با توجه به نمای شماتیک زنجیره سینماتیک رسم شده در شکل (٢-٨) داریم.
^B e_i=〖^B x〗_(P(pos)|B)+^B p_i-^B b_i(٢-٤٢)
〖^B p〗_i=〖^B R〗_P 〖^P p〗_i
(٢-٤٣)
(٢-٤٤)
〖^B l〗_i=[■(lcosθ_i cosα[email protected]θ_i sinα[email protected]θ_i )]
α=〖[0°,120°,120°,240°,240°,0°]〗^T (٢-٤٥)
با دانستن بردارهای ثابت ^B b_i و〖^P p〗_i و توجه به این نکته که در مسأله سینماتیک معکوس بردار 〖^B x〗_(P(pos)|B) و ماتریس انتقال 〖^B R〗_P شناخته شده هستند، در نتیجه بردار ^B e_i برداری مشخص و معلوم می باشد.
〖^B h〗_i=〖^B e〗_i 〖-^B l〗_i (٢-٤٦)
از رابطه (٢-٤٦) نتیجه می شود
(٢-٤٧)
‖〖^B h〗_i ‖_2^2=‖〖^B e〗_i-〖^B l〗_i ‖_2^2 □(⇒┬ ) a_i=b_i cosθ_i+c_i sinθ_i
(٢-٤٨)
a_i=h^2-l^2-e_ix^2-e_iy^2-e_iz^2
(٢-٤٩)
b_i=-2e_ix lcosα_i-2e_iy lsin
(٢-٥٠)
c_i=2e_iz l
با حل معادله مثلثاتی (٢-٤٧) با استفاده از روش تانژانت نیم قوس، حل مسأله معکوس پایان می پذیرد وθ_i برای هر بازو به دست می آید.
(٢-٥١)
θ_i=2arctan⁡((-c_i∓√(c_i^2-(b_i^2-a_i^2)))/(a_i+b_i ))
با قراردادن رابطه (٢-٤٦) در رابطه (٢-٤٢) و مشتق گرفتن نسبت به زمان نتیجه می- گیریم.
v_P+ω_P×p_i=θ ̇_i×l_i+θ ̇_i×l_i+ω_(h_j )×h_i (٢-٥٢)
شکل ٢-٩- نمای شماتیک یک زنجیره سینماتیک روبات هگزا
البته باید توجه داشت که مشتق گیری در چارچوب پایه انجام شده است، بنابراین تمام بردارهای بالا در همین چارچوب بیان شده اند. ω_(h_i )وθ ̇_i به ترتیب سرعت زاویه ای میله و بازوی i ام می باشد. از آنجا که ω_(h_i ) هیچ مؤلفه ای در جهت h_i ندارد، معادله (٢-٥٢) را درh_i ضرب داخلی می کنیم. در نتیجه داریم :
h_i.v_P+ω_P.(p_i×h_i )=2θ ̇_i .(l_i×h_i ) i=1,2,…,6(٢-٥٣)
سمت چپ معادله (٢-٥٣) مستقل از سرعت خطی و زاویه ای صفحه متحرک می باشد و سمت راست آن وابسته به سرعت زاویه ای بازوها می باشد. این معادله را می توانیم به شکل ماتریسی نیز بازنویسی کنیم که از این طریق می توان ماتریس ژاکوبین را به دست می آید.
(٢-٥٤)
[h_i^T (p_i×h_i )^T ].[■([email protected]ω_p )]=2 (θ ̇_i .(l_i×h_i ))/‖θ ̇_i ‖ ‖θ ̇_i ‖ i=1,2,…,6
از رابطه بالا نتیجه می شود
[■(h_1^T&〖(p_1×h_1)〗^[email protected]⁞&⁞@〖〖(p〗_1×h_1)〗^T&〖〖(p〗_6×h_6)〗^T )][■([email protected]ω_P )]=2diag((θ ̇_i .(l_i×h_i ))/‖θ ̇_i ‖ )θ ̇
(٢-٥٥)
که در آن θ ̇=[θ ̇_1,θ ̇_2,…,θ ̇_6 ]^T.
J_x [■([email protected]ω_P )]=J_q θ ̇□(⇒┴ ) J_c=J_q^(-1) J_x=[■((h_1^T)/(k_1.(l_1×h_1 ) )&〖(p_1×h_1)〗^T/(k_1.(l_1×h_1 ) )@⁞&⁞@(h_6^T)/(k_6.(l_6×h_6 ) )&〖〖(p〗_6×h_6)〗^T/(k_6.(l_6×h_6 ) ))]
(٢-٥٦)
که در آن
k_1=k_6=(b_6-b_1)/‖b_6-b_1 ‖
k_2=k_3=(b_2-b_3)/‖b_2-b_3 ‖
k_4=k_5=(b_4-b_5)/‖b_4-b_5 ‖
در واقع، k_i همان بردار یکه در جهت محور z_(B_i ) می باشد (شکل ٢-٨).
فصل سوم
مدلسازی دینامیکی روبات هگزا
مدلسازی دینامیکی روبات هگزا
مدلسازی دینامیکی یک سیستم، راهی مفید در مطالعه رفتار آن سیستم پیش از عملیات ساخت و در نتیجه کاهش زمان و هزینه ساخت می باشد. در این بخش معادلات دینامیکی یک روبات شش درجه آزادی هگزا با استفاده از روش لاگرانژ به دست می آید. ابتدا به اجمال روش لاگرانژ توضیح داده می شود و پس از آن انرژی های جنبشی و پتانسیل روبات هگزا برای استفاده در رابطه لاگرانژ محاسبه می گردند.
٣-١- روش لاگرانژ
٣-١-١- آشنایی با لاگرانژین یک سیستم دینامیکی
در این پایان نامه، مکانیک لاگرانژی برای محاسبه معادلات دینامیکی روبات به کار گرفته شده است. این روش در مسائل روباتیک با توجه به تعدد اجزا، روشی کم حجم و ساده نسبت به روش نیوتون می باشد. به عبارتی استخراج روابط دینامیکی روبات با استفاده از روش لاگرانژ ساده و سیستماتیک است، چرا که معادلات نتیجه شده برای حرکت مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل غیر خطی، جفت شده27 و مجذور است. تابع لاگرانژین L به عنوان تفاوت در انرژی جنبشی K و P پتانسیل سیستم به شکل زیر تعریف می شود.
(٣-١)
L(q,q ̇ )=K(q,q ̇ )-P(q)=1/2 q ̇^T M(q) q ̇-P(q)
در رابطه (٣-١) M(q) ماتریس جرم سیستم و بردارq ̇ بردار سرعت تعمیم یافته سیستم مورد بررسی است. معادلات دینامیک با استفاده از تابع لاگرانژین از رابطه مشهور زیر به دست می آیند.
(٣-٢)
d/dt (∂L/(∂q ̇_i ))-∂L/(∂q_i )=τ_i i=1,2,…,
که n درجه آزادی سیستم مکانیکی و q_i مختصات مستقل عمومی هستندکه انرژی های جنبشی و پتانسیل بر اساس آن ها بیان می شوند. q ̇_i سرعت مربوط به بازوی i ام و τ_i نیروهای عمومی (گشتاور و یا نیرو) وارده بر سیستم در محل مختصات q_i می باشند. اگر q_i جابجایی در راستای مفاصل لغزشی باشد، τ_i بیان کننده نیرویی است که باید مفصل جهت حصول دینامیک مطلوب، تولید کند و اگرq_i جابجایی چرخشی باشد، τ_i گشتاور مورد نیاز خواهد بود. همچنین سمت چپ رابطه دینامیک را می توان به عنوان مجموع نیروها در ازای انرژی پتانسیل و جنبشی ورودی به سیستم تعبیر نمود. جملات مورد نیاز در معادلات حرکت لاگرانژ، به شکل زیر محاسبه می شوند.
∂L/(∂q ̇ )=∂L/(∂q ̇ )=M(q) q ̇
d/dt (∂L/(∂q ̇ ))=M(q) q ̈+M ̇(q) q ̇
∂L/∂q=1/2 ∂/∂q q ̇^T M(q) q ̇-∂P/∂q
بنابراین معادله دینامیک بازو به شکل زیر در می آید.
(٣-٣)
M(q) q ̈+M ̇(q) q ̇-1/2 ∂/∂q q ̇^T M(q) q ̇+∂P/∂q=τ
که در آن τ بردار نیروی تعمیم یافته اعمالی توسط موتورها در مفاصل می باشد. همچنین رابطه زیر بین τ و F بردار نیروی خارجی اعمال شده بر گیره روبات برقرار است.
τ=J_c F (٣-٤)
که در آن J_c ماتریس ژاکوبین می باشد.
ماتریس نیروهای مجازی کوریولیس و جانب به مرکز نیز به صورت زیر تعریف می شود.
(٣-٥)
C(q,q ̇ )=M ̇(q) q ̇-1/2 ∂/∂q q ̇^T M(q) q ̇=M ̇(q) q ̇-1/2 ∂K/∂q
و نهایتاً بردار گرانشی به صورت زیر نوشته می شود.
(٣-٦)
G(q)=(∂P(q))/∂q
با جایگذاری روابط (٣-٥) و (٣-٦) در (٣-٤) رابطه دینامیک حاکم بر روبات به صورت زیر

دیدگاهتان را بنویسید