منابع و ماخذ پایان نامه دینامیکی

بازنویسی می شود.
M(q) q ̈+C(q,q ̇ )+G(q)= τ (٣-٧)
رابطه (٣-٧) شکل نهایی معادله دینامیک روبات هگزاست. واحد درایه هایی از ماتریس M(q) که مربوط به مفاصل چرخشی هستند، kgm^2 و واحد درایه هایی از آن که مربوط به مفاصل رفت و برگشتی هستند، kg است. واحد درایه هایی از ماتریس C(q,q ̇ ) و G(q) که مربوط به مفاصل چرخشی هستند، kg m^2⁄s^2 و واحد درایه هایی از آن که مربوط به مفاصل رفت و برگشتی هستند، kg m⁄s^2 است.
٣-٢- دینامیک روبات هگزا
در این قسمت، برای به دست آوردن معادلات دینامیکی حاکم بر روبات هگزا، ابتدا انرژی جنبشی و پتانسیل کل مجموعه روبات محاسبه می شود و سپس از لاگرانژین روبات هگزا برای محاسبه معادلات دینامیکی حاکمه استفاده می گردد. مجموعه عملیات مورد نیاز برای یک زنجیره سینماتیکی محاسبه می گردد و نهایتاً کل انرژی جنبشی و پتانسیل روبات هگزا به صورت مجموع جملات انرژی نوشته می شود.
٣-٢-١- انرژی جنبشی صفحه متحرک
انرژی جنبشی صفحه متحرک، 〖،K〗_(P )به دو بخش K_(tran ) وK_rot تقسیم می شود که در آن K_(tran ) انرژی جنبشی ناشی از جابجایی خطی جسم و K_rot انرژی جنبشی ناشی از دوران جسم و K_P کل انرژی جنبشی جسم است.
K_P=K_(tran )+K_rot (٣-٨)
٣-٢-١-١- انرژی جنبشی صفحه متحرک روبات هگزا ناشی از جابجایی خطی
با دانستن جرم صفحه متحرک روبات و همچنین سرعت مرکز جرم می توان انرژی جنبشی ناشی از سرعت خطی را به صورت زیر محاسبه کرد.
(٣-٩)
K_(tran )=1/2 m_P V_P^T.V_P=1/2 m_P (x ̇_P^2+y ̇_P^2+z ̇_P^2 )
که در آن V_P=〖^B x ̇〗_(P(pos)|B)=[x ̇_P,y ̇_P,z ̇_P ]^T بردار سرعت مرکز جرم صفحه متحرک روبات هگزا می باشد که در دستگاه مختصات پایه روبات تعریف شده است. این بردار سرعت در طول زمان در مسأله معکوس معلوم است.
٣-٢-١-٢- انرژی جنبشی صفحه متحرک روبات هگزا ناشی از دوران
علاوه بر انرژی جنبشی ناشی از سرعت خطی، دوران نیز بخش دیگری از کل انرژی جنبشی جسم می باشد. این انرژی ناشی از دوران جسم دور مرکز آن است و با رابطه زیر بیان می شود.
(٣-١٠)
K_rot=1/2 ^P ω_P^T ^P I_P ^P ω_P
در این رابطه ^P ω_P سرعت زاویه ای صفحه متحرک حول مرکز جرم آن است که در دستگاه {P} بیان شده است. همچنین ^P I_P ممان اینرسی صفحه متحرک حول مرکز جرم آن و بیان شده در دستگاه مختصات {P} می باشد. با داشتن ^B ω_P ، سرعت زاویه ای صفحه متحرک در دستگاه مختصات پایه در مسأله معکوس، می توان با استفاده از ماتریس دوران بین دستگاه مختصات پایه و صفحه متحرک، سرعت زاویه ای را در دستگاه مختصات صفحه متحرک تعریف کرد.
^P ω_P=^P R_B ^B ω_P=^B R_P^T ^B ω_P (٣-١١)
که در این رابطه
^B ω_P=[α ̇,β ̇,γ ̇ ]^T (٣-١٢)
می باشد. ^B R_P ماتریس دوران از چارچوب {P} به چارچوب مرجع است. زوایایβ ،α و γ به ترتیب زوایای roll، pitch و yaw می باشند. با جایگذاری رابطه (٣-١١) در (٣-١٠) رابطه انرژی جنبشی چرخشی به شکل زیر به دست می آید.
(٣-١٢)
K_rot=1/2 ^B ω_P^T (〖^B R_P〗^P I_P ^B R_P^T)^B ω_P
٣-٢-١-٣- انرژی جنبشی کل صفحه متحرک روبات هگزا
مجموع انرژی های جنبشی خطی و دورانی را می توان به شکل بسته زیر نمایش داد.
(٣-١٣)
K_P=1/2 ^B x ̇_(P|B)^T M_P 〖^B x ̇〗_(P|B)
که در آن
M_P=[■(m_P I_(3×3)&0_(3×3)@0_(3×3)&〖^B R_P〗^P I_P ^B R_P^T )] (٣-١٤)
وX ̇_P=[x ̇_P,y ̇_P,z ̇_P,α ̇,β ̇,γ ̇ ]^T است. همچنین I_(3×3) ماتریس همانی ٣×٣، 0_(3×3) ماتریس صفر٣×٣ و m_P جرم صفحه متحرک می باشد.
٣-٢-٢ -انرژی پتانسیل صفحه متحرک روبات هگزا
انرژی پتانسیل موجود در اغلب سیستم های مکانیکی، بیشتر ناشی از توانایی انجام کار با توجه به مکان مرکز جرم قطعات روبات می باشد و انرژی پتانسیل ناشی از میدان های الکتریکی و مغناطیسی اغلب نقش مستقیم و چندانی در مجموعه مکانیکی بازوهای روبات ندارد. انرژی پتانسیل صفحه متحرک روبات هگزا نسبت به دستگاه مختصات پایه از رابطه زیر به دست می آید. در این رابطه، بردار ^B r_P بردار مکان مرکز جسم و بیان شده در دستگاه مختصات پایه و g بردار شتاب گرانش زمین و بیان شده در دستگاه مختصات پایه می باشد.
U_P=m_P g^B r_P(٣-١٥)
با توجه به نحوه نصب دستگاه ها و چارچوب های مختصات مستقر بر روی روبات هگزا g=[0,0,9.81]^T می باشد.
٣-٢-٣- لاگرانژین صفحه متحرک روبات هگزا
در این مرحله پس از محاسبه انرژی های جنبشی و پتانسیل صفحه متحرک، لاگرانژین این قطعه از روبات با جایگذاری معادلات (٣-١٥) و (٣-١٣) در رابطه (٣-١) به صورت زیر به دست می آید.
L_P=K_P-U_P(٣-١٦)
٣-٢-٤- انرژی جنبشی بازوی i ام روبات هگزا
با توجه به طراحی روبات سرعت زاویه ای بازوی i ام روبات هگزا در دستگاه مختصات {〖 B〗_i } به شکل زیر است.
^(B_i ) ω_(〖arm〗_i )=[0,0,θ ̇_i ]^T (٣-١٧)
سرعت خطی مرکز جرم بازوی i ام از رابطه ^(B_i ) V_(〖CG〗_i )=^(B_i ) ω_(〖arm〗_i )×^(B_i ) r_(〖CG〗_i |B_i )به صورت زیر به دست می آید.
(٣-١٨)
^(B_i ) V_(〖CG〗_i )=L/2 θ ̇_i [-sinθ_i,cosθ_i,0]^T
مجموع کل انرژی جنبشی بازوی i ام با رابطه زیر بیان می شود.
(٣-١٩)
K_(〖arm〗_i )=1/2 V_(〖arm〗_i)^T M_(〖arm〗_i ) V_(〖arm〗_i )
که در آن
(٣-٢٠)
V_(〖arm〗_i )=[-L/2 θ ̇_i sinθ_i,L/2 θ ̇_i cosθ_i,0,0,0,θ ̇_i ]
و
M_(〖arm〗_i )=[■(m_(〖arm〗_i ) I_(3×3)&0_(3×3)@0_(3×3)&〖^B R_(〖arm〗_i )〗^(CG.〖arm〗_i ) I_(〖arm〗_i ) ^B R_(〖arm〗_i)^T )] (٣-٢١)
در این رابطه ^(CG.〖arm〗_i ) I_(〖arm〗_i )، تانسور ممان اینرسی حول مرکز جرم بازوی i ام است.
٣-٢-٥- انرژی پتانسیل بازوی i ام روبات هگزا
نظیر رابطه (٣-١٥) انرژی پتانسیل بازوی i ام روبات هگزا برابر است با
U_(〖arm〗_i )=m_(〖arm〗_i ) g^T ^B r_(CG.〖arm〗_i ) (٣-٢٢)
که در آن m_(〖arm〗_i ) جرم بازوی i ام، ^B r_(CG.〖arm〗_i ) بردار مکان مرکز جرم بازوی i ام بیان شده در دستگاه مختصات پایه می باشد.
٣-٢-٦- لاگرانژین بازوهای روبات هگزا
با توجه به اینکه روبات هگزا شش بازو دارد، لاگرانژین مجموعه بازوها، L_arm، برابر با جمع شش لاگرانژین برای هر بازو می باشد که از رابطه زیر به دست می آید.
(٣-٢٣)
L_arm=∑_(i=1)^6▒〖(K_(〖arm〗_i )-U_(〖arm〗_i ) ) 〗
٣-٢-٧- انرژی جنبشی میله i ام روبات هگزا
برای محاسبه انرژی جنبشی و متعاقب آن لاگرانژین میله های روبات هگزا، نخست باید
سرعت خطی مرکز جرم و سرعت زاویه ای میله محاسبه گردد.
٣-٢-٧-١- تحلیل سرعت میله i ام روبات هگزا
برای محاسبه سرعت زاویه ای میله i ام روبات هگزا، مجدداً شکل زنجیره سینماتیکی i را تکرار می کنیم. پیشتر بیان شد که سرعت خطی و زاویه ای مرکز جرم صفحه متحرک در مسأله سینماتیک معکوس مشخص است. از اینرو با روابط سرعت نسبی به طریق زیر سرعت خطی مرکز جرم میله ها در دستگاه مختصات پایه به دست می آید. با در نظر گرفتن این نکته که فاصله مرکز جرم میله تا نقطه اتصال صفحه متحرک و میله، P_i، برابر با b_h است (شکل ٢-٨)، در نتیجه موقعیت آن نسبت به چارچوب پایه برابر است با:
(٣-٢٤)
^B r_(CG.〖rod〗_i |B)=^B r_P+^B p_i-b_h/h h_(i )
سرعت خطی مرکز جرم میله i ام، ^B V_(CG.〖rod〗_i |B) ، نسبت به چارچوب پایه و بیان شده در همان دستگاه برابر است با:
(٣-٢٥)
^B V_(CG.〖rod〗_i |B)=(1-b_h/h)(^B V_P+^B ω_P×^B p_i )+b_h/h θ ̇_i k_i×l_i
از آنجا که در مسأله سینماتیک معکوسJ_c و در نتیجه θ ̇_i را در اختیار داریم، رابطه بالا را می توانیم به صورت زیر باز نویسی کنیم.
^B V_(CG.〖rod〗_i |B)=J_(〖rod〗_i ) X ̇_P (٣-٢٦)
حال، با توجه به چرخش میله ها، سرعت زاویه ای هر میله،^B ω_(〖rod〗_i ) ، با دانستن سرعت خطی دو نقطه از آن به دست می آید. اگر این دو نقطه را محل اتصال بازو به میله و میله به صفحه متحرک انتخاب کنیم، عبارت زیر حاصل می شود.
^B ω_(〖rod〗_i )×h_i=^B V_P+^B ω_P×^B p_i-θ ̇_i k_i×l_i (٣-٢٧)
با توجه به اینکه میله حول محور خود گردش نمی کند، سرعت زاویه ای حول h_i همیشه صفر می باشد و بردارهای h_i و ^B ω_(〖rod〗_i ) همیشه بر هم عمودند. با ضرب خارجی از سمت راست بردار h_i در هر دو سوی معادله برداری فوق و استفاده از ضرب خارجی سه گانه بردارها، ^B ω_(〖rod〗_i ) به دست می آید.
^B ω_(〖rod〗_i )×h_i×h_i=^B V_P×h_i+^B ω_P×^B p_i×h_i-θ ̇_i k_i×l_i×h_i □(⇒┬ )
(^B ω_(〖rod〗_i ).h_i ) h_i-(h_i.h_i ) ^B ω_(〖rod〗_i )=^B V_P×h_i
+^B ω_P×^B p_i×h_i-(θ ̇_i k_i.h_i ) l_i+(l_i.h_i ) θ ̇_i k_i (٣-٢٨)
با توجه به اینکه ^B ω_(〖rod〗_i ).h_i برابر صفر می باشد، داریم
(٣-٢٩)
^B ω_(〖rod〗_i )=-1/h^2 (^B V_P×h_i+^B ω_P×^B p_i×h_i-(θ ̇_i k_i.h_i ) l_i+(l_i.h_i ) θ ̇_i k_i )
حال با داشتن سرعت زاویه ای و سرعت خطی مرکز جرم میله های روبات هگزا می توانیم انرژی جنبشی آن را از رابطه زیر به دست آوریم.
(٣-٣٠)
K_(〖rod〗_i )=1/2 [^B V_(CG.〖rod〗_i |B),^B ω_(〖rod〗_i ) ]^T ^B M_(〖rod〗_i ) [^B V_(CG.〖rod〗_i |B),^B ω_(〖rod〗_i ) ]
که در آن
^B M_(〖rod〗_i )=[■(m_(〖arm〗_i ) I_(3×3)&0_(3×3)@0_(3×3)&〖^B R_(〖rod〗_i )〗^(CG.〖arm〗_i ) I_(〖arm〗_i ) ^B R_(〖rod〗_i)^T )] (3-31)
٣-٢-٨- انرژی پتانسیل میله i ام روبات هگزا
انرژی پتانسیل میله i ام روبات هگزا در دستگاه مختصات پایه توسط رابطه زیر بیان می- شود.
U_(〖rod〗_i )=m_(〖rod〗_i ) g^T ^B r_(CG.〖rod〗_i ) (٣-٣٢)
که در آن m_(〖rod〗_i ) جرم میله i ام، ^B r_(CG.〖rod〗_i ) بردار مکان مرکز جرم میله i ام بیان شده در دستگاه مختصات پایه می باشد.
٣-٢-٩- لاگرانژین میله های روبات هگزا
لاگرانژین میله های روبات هگزا برابر با مجموع شش لاگرانژین محاسبه شده برای هر میله می باشد که به صورت سری زیر قابل بیان است.
L_rod=∑_(i=1)^6▒〖(K_(〖rod〗_i )-U_(〖rod〗_i ) ) 〗 (٣-٣٣)
٣-٢-١٠- به دست آوردن معادلات دینامیکی روبات هگزا
در مراحل قبل لاگرانژین صفحه متحرک و بازوها و میله های روبات هگزا هر کدام به صورت
جداگانه بررسی و محاسبه شد. لاگرانژین روبات هگزا با توجه به خاصیت جمع پذیر بودن و اسکالر بودن انرژی برابر با مجموع لاگرانژین های محاسبه شده در قسمت های پیشین است. از اینرو لاگرانژین روبات هگزا

دیدگاهتان را بنویسید