منابع و ماخذ پایان نامه متغیر مستقل، شبکه های عصبی، تقسیم بندی

محورهایش چرخانده می- شود و چرخش بعد حول یکی از محورهای دستگاه چرخانده شده صورت می گیرد.
در این روش ابتدا چارچوب{B} حول محورz_B به اندازه α چرخانده می شود؛ سپس حول y_B^’ به اندازه βو سرانجام حول z_B^” به اندازه γ دوران داده می شود. در این روش، هر دوران حول محوری از دستگاه متحرک {B^’ } و {B^” }، و نه تنها مرجع ثابت {A} انجام می پذیرد. مجموعه این سه دوران زوایای اویلر نامیده می شود. توجه شود که هر سه دوران حول محوری صورت می گیرد که مکان آن به دوران های قبلی بستگی دارد. با توجه به اینکه سه دوران حول محورهای Z، Y و Z انجام می شوند، این نمایش جهت گیری، زوایای اویلرZ–Y–Z نامیده می شود. برای نشان دادن اینکه این دوران با زوایای اویلر توصیف شده، یک علامت «’» به زیر نویس ها اضافه شده است. با ضرب پی در پی ماتریس های دوران مورد نظر، ماتریس دوران معادل چنین به دست خواهد آمد.
^A R_B= ^A R_(B^’ ) ^(B^’ ) R_(B^” ) ^(B^” ) R_(B^”’ )=R_Z (α)R_Y (β)R_Z (γ) (٢-٢٠)
〖 ^A R_B〗_(Z^’ Y^’ Z^’ ) (α,β,γ)=[■(cαcβcγ-sαsγ&-cαcβsγ-sαcγ&cαsβ@sαcβcγ+cαsγ&-sαcβsγ+cαcγ&sαsβ@-sβcγ&sβsγ&cβ)]
(٢-٢١)
برای به دست آوردن زوایای اویلر Z–Y–Z با داشتن ماتریس دوران، مشابه با حالت چارچوب-ثابت عمل می شود.
〖 ^A R_B〗_(Z^’ Y^’ Z^’ ) (α,β,γ)=[■(t_11&t_12&[email protected]_21&t_22&[email protected]_31&t_32&t_33 )] (٢-٢٢)
اگر t_13≠0 و t_23≠0 و برای β∈(-π⁄2,π⁄2) آنگاه
β=atan2(√(〖t_13〗^2+〖t_23〗^2 ),t_33)
α=atan2(t_23,t_13 ) (٢-٢٣)
γ=atan2(t_32,〖-t〗_31 )
زوایای RPY و زوایای اویلرZ–Y–Z تنها دو روش از مجموعه ٢٤ قراردادی هستند که قراردادهای مجموعه زوایا خوانده می شوند. در این مجموعه، ١٢ قرارداد مربوط به دوران حول محورهای ثابت و ١٢ قرارداد دیگر مربوط به زوایای اویلرند. نکته دیگری که می توان از روابط (٢-١٦) و (٢-٢٠) نتیجه گرفت این است که ماتریس دوران نهایی ^A R_B در زوایای RPY ترتیبی معکوس با زوایای اویلر دارد. به عنوان مثال
〖 ^A R_B〗_XYZ (γ,β,α)=〖 ^A R_B〗_(Z^’ Y^’ X^’ ) (α,β,γ) (٢-٢٤)
از این رو، روش زوایای ثابت و زوایای اویلر، دو روش متفاوت برای رسیدن به یک نتیجه هستند، در نتیجه تنها ١٢ قرارداد یکتا برای بیان ماتریس دوران با استفاده از دوران های متوالی حول محورهای اصلی وجود دارد.
٢-٤- سینماتیک روبات ها
سینماتیک علم شناخت حرکت و به قول فرهنگ لغت بابیلون به معنای حرکت شناسی است. در دانش حرکت شناسی مسائل مربوط به مکان، سرعت و شتاب اجسام و حتی در صورت نیاز مشتقات مراتب بالاتر مکان بدون توجه به نیروهای وارده بر سیستم مورد بررسی قرار می گیرند.
در یک روبات شش درجه آزادی موقعیت آخرین عضو (معمولاً گیره روبات) نسبت به دستگاه مختصات مرجع، توسط شش پارامتر که سه تای آن ها پارامترهای مکان و سه تای دیگر پارامترهای زاویه ای (جهت گیری) می باشند، معرفی می شود. مفاصل روبات نیز بر حسب نوع خود که می تواند چرخشی22 و یا رفت و برگشتی23 باشند، به وسیله یک متغیر که در مفاصل چرخشی، زاویه و در مفاصل رفت و برگشتی، مکان است بیان می گردند. پیشتر بیان شد که در روبات هگزا شش مفصل چرخشی مستقل از هم و در نتیجه شش متغیر مستقل وجود دارد.
مسأله سینماتیک خود به دو بخش سینماتیک مستقیم24 و سینماتیک معکوس25 تقسیم بندی می شود. هدف در مسأله سینماتیک مستقیم محاسبه موقعیت گیره روبات و سایر بازوها در فضا با آگاهی از مکان مفاصل رفت و برگشتی و یا زاویه مفاصل چرخشی است. بر عکس مسأله سینماتیک مستقیم در مسأله سینماتیک معکوس هدف این است که با دانستن موقعیت گیره روبات مکان مربوطه در مفاصل رفت و برگشتی و یا زاویه مربوطه در مفاصل چرخشی، محاسبه گردد.
غالباً در روبات های سریال حل مسأله مستقیم بسیار ساده است و جواب های این مسأله یکتا و قابل محاسبه می باشند، اما یافتن پاسخ مسأله معکوس سخت تر و مستلزم به دست آوردن و مقایسه ماتریس های روبات است. در مقابل در روبات های موازی مسأله معکوس قابل حل به صورت تحلیلی بوده ولی مسأله مستقیم معمولاً به شکل تحلیلی قابل حل نمی باشد. برای مثال مرلت در فصل سوم کتاب خود با عنوان ماشین های موازی نشان دادکه با حل تحلیلی مسأله مستقیم برای هر موقعیت از مفاصل می توان تا چهل جواب برای موقعیت بخش متحرک به دست آورد.
بدین دلیل که اغلب نمی توان یک فرم بسته برای پاسخ مسأله مستقیم در روبات های موازی به دست آورد روش های دیگری برای حل این مسأله در نظر گرفته می شود. این روشها عموماً بر پایه الگوریتم های عددی کمینه کردن خطا و روش بیشترین تغییر کاهشی26 است. از آنجا که دقت این روش ها و همگرایی آنها در حل مسأله مستقیم روبات های موازی محل تردید است، تلاش در جهت یافتن روشی مناسب تر منجر به بکارگیری شبکه های عصبی مصنوعی در حل مسأله فوق شد.
پیش از هر گونه تلاش برای حل مسائل مستقیم و معکوس یک روبات لازم است به قسمت های مختلف آن چارچوب هایی متصل گردد.در حالت کلی چگونگی اتصال این چارچوب ها اختیاری است، اما روش استاندارد متداول برای این کار، روش دناویت-هارتنبرگ است که به افتخار مبتکرانش بدین نام خوانده شده است. حال، به بررسی مسأله سینماتیک مستقیم و معکوس روبات می پردازیم.
٢-٤-١- حل مسأله سینماتیک مستقیم
اگر گیره روبات به بازوی n روبات متصل شده باشد و چارچوب {E} چارچوب مختصات متصل به گیره روبات باشد، آنگاه ^n T_E تبدیل همگن بین دستگاه های{E} و {n} خواهد بود و در صورتی که چارچوب {R} چارچوب مرجع باشد، تبدیل ^R T_O رابطه بین چارچوب های {R} و پایه {O} را توصیف می کند. در حالتی که پایه روبات به زمین ثابت شده باشد تبدیل^R T_O و^n T_E تبدیل های همگن ثابتی خواهند بود.
در این حالت کلی، رابطه بین گیره روبات و چارچوب مرجع از رابطه زیر به دست می آید.
〖〖^R T_E =〗^R T_O ^O T_n 〗^n T_E(٢-٢٥)
از آنجا که بردار موقعیت گیره r از ^R T_E محاسبه می شود و ^O T_n تابعی از بردار مفاصل q می باشد، می توان تابع مکان f_r (q) را برای گیره روبات به شکل زیر نوشت.
r=f_r (q) (٢-٢٦)
٢-٤-٢- مسأله سینماتیک معکوس
در سینماتیک معکوس بر خلاف مسأله مستقیم، پیدا کردن بردار مفاصل q با فرض دانستن بردار موقعیت گیره روبات، r، مورد نظر است. در این حالت بردار مفاصل به صورت تابعی از بردار مکان گیره از تابعی به صورت q=g_r (r) به دست می آید.
٢-٥- سرعت انتقالی و دورانی جسم
در تحلیل سینماتیکی اجزای یک روبات که پیش نیاز حل مسأله دینامیک نیز است، می- بایست بتوان سرعت های خطی و زاویه ای را در هر چارچوب دلخواه بیان کرد. از اینرو برای بیان سرعت دورانی چارچوب {B} نسبت به چارچوب {A}، چارچوب سوم{B^’ } (شکل ٢-٥)که مبدأ ان بر مبدأ چارچوب مرجع {A} و جهت آن با چارچوب {B} یکسان است، تعریف می گردد. در این صورت حرکت{B^’ } در هر لحظه از زمان، دوران خالص نسبت به چارچوب {A} می باشد. این حرکت توسط بردار ω_(B|A) نشان داده شده است (شکل ٢-٥).
شکل ٢-٥- بردار سرعت زاویه ای چارچوب {B} نسبت به چارچوب {A}
جهت بردار سرعت زاویه ای در هر لحظه از زمان با جهت محور دوران جسم یکسان و مقدار آن برابر با سرعت گردش حول محور دوران است (شکل ٢-٦). با توجه به مطالب پیشین، رابطه زیر بین بیان بردارω_(B|A) در دو چارچوب{A} و{B} برقرار است که در آن ^A R_B ماتریس دوران از چارچوب {B} به {A} می باشد.
^A ω_(B|A)=^A R_B ^B ω_(B|A)(٢-٢٧)
شکل ٢-٦- مؤلفه های بردار سرعت زاویه ای ω_(B|A) در چارچوب {A}
٢-٥-١- ماتریس ژاکوبین
ژاکوبین شکل چند بعدی از مشتق است. اگر y_1 تاy_n توابعی از m متغیر مستقل باشند، می توان روابط حاکم را به شکل زیر بیان کرد.
y_1=f_1 (x_1,x_2,…,x_m)
y_2=f_2 (x_1,x_2,…,x_m)
⋮(٢-٢٨)
y_n=f_n (x_1,x_2,…,x_m)
این مجموعه از معادلات به شکل فشرده برداری Y=F(X) نیز قابل نمایش است. در این نمایش Y و F بردارهای ١× nهستند. برای بررسی نحوه تغییرات خروجی در اثر تغییرات ورودی، دیفرانسیل y_i به صورت تابعی از دیفرانسیل x_j، با روابط برداری زیر محاسبه می گردد.
(٢-٢٩)
δY=∂F/∂X δX
در رابطه (٢-٢٩) ماتریس ∂F/∂X ماتریس m × nاز مشتقات جزئی است که ماتریس ژاکوبین خوانده می شود و آن را با حرف J نشان می دهند.
δY=J(X)δX(٢-٣٠)
با تقسیم کردن دو طرف تساوی بالا بر عبارت دیفرانسیل δt، ماتریس ژاکوبین به عنوان نگاشت بین دو فضای سرعت X ̇ و Y ̇ ظاهر می شود.
Y ̇=J(X)X ̇(٢-٣١)
در مسائل روباتیک، از ژاکوبین به طور عمده برای بیان رابطه سرعت مفاصل و سرعت دکارتی گیره روبات استفاده می شود. همچنین با مشتق گیری از رابطه (٢-٢٦) بر حسب زمان چنین به دست می آید.
r ̇=J_f (q) q ̇ (٢-٣٢)
که در آن ماتریس ژاکوبین از رابطه زیر به دست می آید
J_f (q)=∂r/(∂q^T )
(٢-٣٣)
می توان سرعت زاویه ای یک جسم را بر حسب نرخ تغییرات زمانی زوایای اویلر چارچوب متصل به آن نسبت به یک چارچوب مرجع ثابت نوشت. با توجه به اینکه در سیستم زوایای اویلر، دوران های انجام گرفته حول محور های غیر متعامد انجام می گیرد، می بایست با استفاده از یک ماتریس ژاکوبین مناسب رابطه بین مؤلفه های بردار سرعت زاویه ای جسم و نرخ تغییرات زمانی زوایای اویلر را بیان کرد.
به عنوان مثال، سیستم زوایای اویلر(α,β,γ) که نشان دهنده جهت گیری چارچوب {B} نسبت به {A} می باشد، را در نظر بگیرید. سیستم زوایای اویلر استفاده شده به این ترتیب است؛ α حولZ_A، β حول Y_A^’ (Y_A دوران یافته) و γحولX_A^” (X_A^’ دوران یافته). با بیان سرعت زاویه ای در چارچوب {A} و بر حسب نرخ تغییرات زمانی زوایای اویلر، ماتریس ژاکوبین زوایای اویلر را به دست می آوریم.
ω_(B|A)=α ̇k_A+β ̇〖j^’〗_A+γ ̇〖i^”〗_A=α ̇k_A+β ̇(-sαi_A+cαj_A )
+γ ̇((cαi_A+sαj_A )cβ-sβk_A )=ω_x i_A+ω_y j_A+ω_z k_A
[■(ω[email protected]ω[email protected]ω_z )]=[■(0&-sα&cαcβ@0&cα&cαsβ@1&0&-sβ)][■(α ̇@β ̇@γ ̇ )] □(⇒┴ ) J_A=[■(0&-sα&cαcβ@0&cα&cαsβ@1&0&-sβ)] (٢-٣٤)
٢-٦- بررسی و حل مسأله سینماتیک معکوس در روبات هگزا
برای بررسی سینماتیک حرکت روبات هگزا، ابتدا ساختار روبات مورد مطالعه قرار می- گیرد. سپس اجزای تشکیل دهنده، ساختار مکانیکی و پارامترهای مورد نیاز در روبات معرفی می گردند و در نهایت روشی تحلیلی برای حل مسأله سینماتیک معکوس ارائه می شود.
٢-٦-١- ساختار روبات موازی هگزا

دیدگاهتان را بنویسید