منابع و ماخذ پایان نامه همزمان سازی، دینامیکی، ماتریس انتقال

برابر است با
L_Hexa=L_P+L_arm+L_rod (٣-٣٤)
که در آن L_Hexa لاگرانژین کل روبات هگزاست. با قرار دادن L_Hexa در رابطه (٣-٢) معادلات شش گانه دینامیک حاکم بر روبات هگزا به دست می آید.
(٣-٣5)
d/dt ((∂L_Hexa)/(∂q ̇_i ))-(∂L_Hexa)/(∂q_i )=τ_i i=1,2,…,n
با توجه به اینکه انرژی اجزای مختلف روبات هگزا بر حسب دوازده مختصات عمومی [x_P,y_P,z_P,α,β,γ,θ_1,θ_2,θ_3,θ_4,θ_5,θ_6 ]^T به دست آمده است و روبات هگزا یک روبات شش درجه آزادی است، می بایست سایر مقادیر را بر حسب شش پارامتر مستقل به عنوان مختصات عمومی بازنویسی کرد. با توجه به رابطه (٢-٥١) و یادآوری این نکته که نوشتن معادلات معکوس در مورد روبات های موازی بسیار ساده تر از معادلات مستقیم است، در معادله (٣-٣5) به جای θ از رابطه (٢-٥١) و به جای θ ̇ از رابطه (٢-٥٦) استفاده می کنیم. به عبارتی بردار[x_P,y_P,z_P,α,β,γ]^T به عنوان بردار مستقل روبات می باشد که لاگرانژین روبات هگزا بر حسب آن نوشته می شود. پس از این مرحله لاگرانژین روبات که به صورت سیمبولیک به دست آمده بود، در رابطه (٣-٣5) قرار می گیرد که به دلیل حجم بسیار آن در اینجا از ذکر آن خودداری می شود.
٣-٢-١١-خواص معادله دینامیک حاکم بر روبات
٣-٢-١١-١ -ماتریس جرم
ماتریس جرم M(q)، متقارن و مثبت معین کراندار از بالا و پایین است.
μ_1 I≤M(q)≤μ_2 I (٣-٣6)
در این رابطه I ماتریس همانی n×n و μ_2 〖و μ〗_1 مقادیر اسکالر هستند. از سوی دیگر معکوس ماتریس جرم هم کراندار است؛ یعنی
(٣-٣7)
1/μ_2 I≤M^(-1) (q)≤1/μ_1 I
اگر مفصل های روبات همگی از نوع چرخشی باشند، مقادیرμ_2 〖و μ〗_1 ثابت هستند اما در حالتی که یک یا چند مفصل از نوع رفت و برگشتی باشد، μ_2 〖و μ〗_1 توابع اسکالری از بردار q خواهند بود.
٣-٢-١١-٢ -ماتریس نیروی کوریولیس و جانب به مرکز
C(q)، ماتریس متقارن n×n است. چون C(q,q ̇) بر حسب q ̇ از درجه دو است، به وسیله یک تابع درجه دو بر حسب q ̇ از بالا کراندار می باشد، یعنی
‖C(q,q ̇)‖≤c_b (q) ‖q ̇ ‖^2 (٣-٣8)
〖 c〗_b (q)تابع اسکالر مشخصی است که برای یک روبات با مفاصل چرخشی، مستقل از بردار مفاصل q و برای روباتی با مفاصل رفت و برگشتی، تابعی از بردار مفاصل q می باشد.
٣-٢-١١-٢ -بردار گرانش
بردار گرانش g(q) از بالا کراندار است. در این نامساوی g_b (q) تابع اسکالر مشخصی است که برای یک روبات با مفاصل رفت و برگشتی نظیر روبات موازی هگزا، ثابت و مستقل از بردار مفاصل q است و برای روباتی با مفاصل رفت و برگشتی به صورت تابعی از بردار مفاصل q خواهد بود.
‖g(q)‖≤ g_b (q) (٣-٣9)
٣-٢-١١-٣- پادمتقارن بودن ماتریس M ̇-2C
بدون ذکر اثبات، ماتریس M ̇-2C یک ماتریس پادمتقارن است. این خاصیت مهم در طراحی برخی روش های کنترلی، به ویژه در طراحی کنترل های تطبیقی بسیار کاربرد دارد.
٣-٢-١١-٣ -خطی بودن بر حسب پارامترها
یک خاصیت جالب و مفید معادله دینامیک حاکم بر روبات، خطی بودن این معادله بر حسب پارامترهای جرم، گشتاور اول و گشتاور دوم جرم می باشد. این خاصیت که نقش مهمی در طراحی کنترلرهای تطبیقی دارد، موجب می گردد که بتوان کل معادله دینامیک حاکم بر روبات را به صورت حاصلضرب یک ماتریس Y که تمام متغیر ها را در خود جا داده است و یک بردار پارامترهای دینامیکی ρبه صورت زیر نمایش داد.
M(q) q ̈+C(q,q ̇ )+G(q)=Y(q,q ̇,q ̈ )ρ (٣-40)
در این رابطه Y(q,q ̇,q ̈) یک ماتریس n×p است که تابعی از بردارهای موقعیت، سرعت و شتاب مفاصل روبات می باشد. n درجات آزادی روبات و p تعداد پارامترهای دینامیکی روبات و ρ بردار p×1 پارامترهای دینامیکی روبات است.
فصل ٤
همزمان سازی سیستم های دینامیکی
همزمان سازی سیستم های دینامیکی
٤-١- مقدمه
یکی از نخستین مشاهدات و پژوهش ها در زمینه حرکت همزمان توسط کریستین هویگینز انجام گرفت. او در نیمه های قرن هفدهم در آزمایشی متوجه شد که دو ساعت پاندولی یکسان که از یک میله انعطاف پذیر آویزان هستند، در یک بازه زمانی معین با وجود وضعیت اولیه مختلف، حرکتی همزمان دارند. توضیح هویگینز بدون بهره گیری از حساب دیفرانسیل در توصیف حرکت ساعت ها در آن زمان کاملا دقیق بود. نمونه های بسیار دیگری از حرکت همزمان بعد ها در قرن هفدهم مشاهده و تحلیل شده اند. برای نمونه، رایلی در کتاب “تئوری صوت” خود پدیده ای را شرح می دهد که دو آلت موسیقایی با شرط اینکه خروجی صدای نزدیک به هم داشته باشند، صدایی با فرکانس یکسان ایجاد می کنند. در اوایل قرن بیستم، فن در پل، دانشمند هلندی پدیده همزمان سازی سیستم های مکانیکی و الکتریکی خاص را مطالعه کرد. حرکت همزمان اجسام گردان و همچنین سیستم های ارتعاشی از موضوعات مورد علاقه در پژوهش های علم فیزیک می باشند. در نهایت می توان کاربرد های نوین همزمان سازی را در زمینه مشاهده گرها، عدم قطعیت و اغتشاشات سیستم های دینامیکی و کنترل همزمان مشاهده کرد.
همزمان سازی28، هماهنگی29 و همکاری30 سه مفهومی هستند که در سیستم های مکانیکی
گاه به جای هم به کار می روند. اما بایک نگاه دقیق تر، باید بین هماهنگی و همکاری سیستم های دینامیکی تفاوت قائل شد. از دیدگاه کنترلی، برای هماهنگی سیستم های دینامیکی مختلف از شیوه کنترل مالک-برده31 استفاده می شود. بدین معنا که یک سیستم غالب و یا انتقال دهنده32 وجود دارد که دستورات کنترلی را به دیگر سیستم ها که سیستم های گیرنده33 می گویند، انتقال می دهد. اما در سیستم های همکار، سیستم های مختلف ارتباط متقابلی با همدیگر دارند. بدین معنی که ورودی کنترلی سیستم های گوناگون بر هم اثر می گذارند. مسلماً روبات موازی هگزا نیز در زمره سیستم های همکار قرار می گیرد. زیرا با در نظر گرفتن هر یک از زنجیره های روبات (میله، بازو، صفحه متحرک و مفاصل بین آن ها) به عنوان یک سیستم دینامیکی، گشتاور موتور وارده بر یک زنجیره، بر دینامیک زنجیره های دیگر تاثیر دارد. در ادامه به تعریف همزمان سازی می پردازیم و با استفاده از آن، خطای همزمان سازی را در روبات هگزا تعریف می کنیم.
٤-٢- تعریف همزمان سازی
همزمان سازی در عمومی ترین تعبیر خود به معنای همبستگی یا تناظر در رفتار زمانی دو یا چند فرآیند می باشد. در زیر یک تعریف از پدیده همزمان سازی ارائه خواهیم داد که یک حالت خاص از تعریف عمومی این پدیده توسط بلخمان در سال ١٩٧١ می باشد.
k سیستم دینامیکی توصیف شده توسط kمعادله دیفرانسیل معمولی را در نظر بگیرید:
S_i=x ̇_i=F_i (x_1,x_2,…,x_k,t), i=1,…,k (٤-١)
که در آنF_i:R^(n_١ )×…×R^(n_k )×R^+→R^(n_i ).
یک تابعک١ Q وابسته به زمان را در نظر بگیرید که بر روی مجموعه جواب سیستم ها x_i تعریف شده است: Q:X_1×…×X_k×R^+→R ، که در آن X_i⊂{x_i:R^+→R^(n_i ) }.
تعریف (٤-١): جواب های سیستم های S_i را همزمان گوییم هر گاه مقدار Q برای این جواب ها در t≥0متحداً صفر باشد.
٤-٣- خطای همزمان سازی و موقعیت مرکب٢ در روبات هگزا
به منظور افزایش دقت خطای تعقیب موقعیت روبات های موازی، یک رابطه سینماتیکی خاص باید بین زنجیره های بسته آن وجود داشته باشد. به عبارتی دیگر، حرکت مفاصل فعال در عملیات تعقیب مسیر هماهنگ گردد. بر این اساس، تابعک زیر را به منظور همزمان سازی حرکت روبات هگزا در نظر می گیریم.
(٤-2)
Q(q_١,q_٢,…,q_n,t)=∑_(i=١)^n▒〖∑_(j=١)^n▒〖[c_i (t) q_i (t) 〗-c_j (t) q_j (t)]〗
با توجه به مستقل خطی بودن q_i (t),i=1,2,…,n ها، برای اینکه تابعک فوق درt∈R^+ متحداً برابر صفر باشد، قید سینماتیکی زیر باید بین حرکت زنجیره های روبات هگزا وجود داشته باشد.
c_1 (t) q_1 (t)=c_2 (t) q_2 (t)=…=c_n (t) q_n (t) (٤-3)
که در آن c_i (t) ضریب مرکب بودن3 مفصل فعال i ام می باشد. از آنجا که رابطه (٤-3) برای تمام مختصات تعمیم یافته مطلوب (q_i^d (t),i=1,2,…,n) نیز صادق است، در نتیجه داریم
c_1 (t) q_1^d (t)=c_2 (t) q_2^d (t)=…=c_n (t) q_n^d (t) (٤-4)
بر اساس روابط (٤-3) و (٤-4)، هدف همزمان سازی زیر را تعریف می کنیم .
c_1 (t) e_1 (t)=c_2 (t) e_2 (t)=c_n (t) e_n (t) (٤-5)
—————
١ Functional
٢ Coupling position error
3 Coupling coefficient
که در آن e_i=q_i (t)-q_i^d (t) خطای موقعیت مفصل فعال i ام می باشد .
این هدف همزمان سازی بدین معنی است که در طراحی کنترلر نه تنها همگرایی خطاهای موقعیت e_i (t) را مد نظر قرار می دهیم، بلکه نحوه همگرایی آنها نیز حائز اهمیت است.
با تقسیم رابطه (٤-5) بر رابطه (٤-4)، خطای همزمان سازی را بدین صورت تعریف می- کنیم. هنگامی که نسبت مختصات واقعی هر مفصل فعال به مقدار مطلوب آن برابر با دیگر مفاصل فعال باشد، آنگاه روبات موازی یک حرکت هماهنگ خواهد داشت و وضعیت مطلوب روبات حفظ خواهد شد. بنا براین، c_i (t)=1⁄(q_i^d (t))،i=1,2,…,nو در نتیجه رابطه (٤-5) را می توان به صورت زیر نوشت.
(٤-6)
(e_1 (t))/(q_1^d (t) )=(e_2 (t))/(q_2^d (t) )=…=(e_n (t))/(q_n^d (t) )
کاملاً واضح است که هر گاه q_i^d (t)→0، آنگاه c_i (t)→∞، در نتیجه c_i (t) در این زمان دچار تکینگی می شود. این تکینگی باعث کاهش کارایی کنترل می شود. بنابراین اگر در مسیر مطلوب از نقاطی که در آن q_i^d (t)=0 می شود، خود داری کنیم، آنگاه مسأله تکینگی c_i (t) حل خواهد شد. می توانیم رابطه (٤-6) را به n زیر مجموعه با شرایط مرزی i-1=n هر گاه i=1 و i+1=1 هر گاه i=n تقسیم کنیم.
(٤-7)
(e_(i-1) (t))/(q_(i-1)^d (t) )=(e_i (t))/(q_i^d (t) )=(e_(i+1) (t))/(q_(i+1)^d (t) )
آنگاه خطای همزمان سازی را به صورت زیر تعریف می کنیم.
(٤-8)
ε_1 (t)=2 (e_1 (t))/(q_1^d (t) )-(e_2 (t))/(q_2^d (t) )-(e_6 (t))/(q_6^d (t) ),
ε_2 (t)=2 (e_2 (t))/(q_2^d (t) )-(e_1 (t))/(q_1^d (t) )-(e_3 (t))/(q_3^d (t) ),…,
ε_2 (t)=2 (e_2 (t))/(q_2^d (t) )-(e_1 (t))/(q_1^d (t) )-(e_3 (t))/(q_3^d (t) )
که در آن ε_i خطای همزمان سازی مفصل فعال i ام است. چنان چه خطای همزمان سازی برای تمامی مفاصل صفر باشد (ε_i=0)، هدف همزمان سازی که در رابطه (٤-6) در پی آن بودیم، خودبخود برآورده می شود. رابطه (٤-8) را در قالب ماتریسی می نویسیم.
(٤-9)
ε=[■(2/(q_1^d (t) )&(-1)/(q_2^d (t) )&0&…&(-1)/(q_6^d (t) )@(-1)/(q_1^d (t) )&2/(q_2^d (t) )&(-1)/(q_3^d (t) )&…&[email protected]⋮&⋱&⋱&⋱&⋮@0&…&(-1)/(q_4^d (t) )&2/(q_5^d (t) )&(-1)/(q_6^d (t) )@(-1)/(q_1^d (t) )&0&…&(-1)/(q_5^d (t) )&2/(q_6^d (t) ))][■(e_1 (t)@e_2 (t)@⋮@e_5 (t)@e_6 (t) )]=Se
که در آن ε=[ε_1 (t),ε_2 (t),…,ε_6 (t)]، e=[e_1 (t),e_2 (t),…,e_6 (t)] وS∈R^(n×n) ماتریس انتقال همزمان سازی می باشد. اگرمسیر مطلوب q_i^d (t) مناسبی انتخاب شود ، آنگاه شرط q_i^d (t)=0 تضمین می شود، بدین معنی که1⁄(q_i^d ) c_i=محدود خواهد بود. بنابراین خطای همزمان سازی همیشه غیرتکین خواهد

دیدگاهتان را بنویسید