منبع پایان نامه درمورد ريتز، رياضي، ترين

الگوريتم بازگشتي محاسبه مي شود در اين مسير نيز پارامترهاي شبكه تغيير نخواهند كرد.
3- تنظيم پارامترها: وزن ها و باياس ها تنظيم مي شود. پس از اعمال هر زوج، ورودي خروجي به عنوان الگوي يادگيري، در خلال سه مرحله فوق تغيير نمي كنند. به همين دليل تعداد مرحله تكرار H عملا با اعمال H امين الگو معادل است.
4- توقيف : جهت توقف تكرار الگوريتم از دو شاخص كارايي زير به طور همزمان مي توان استفاده نمود:
الف- ميانگين مربعات خطا در هر سيكل64 ( جمع مربعات خطا براي تمامي الگوهاي يادگيري) كم‌تر از مقدار پيش تعيين شده اي باشد و يا اينكه فرم تغييرات در پارامترهاي شكبه پس از هر سيكل خيلي كوچك باشد بايستي توجه داشت كه هر سيكل برابر با تعداد تكرار به اندازه تعداد نمونه هاي يادگيري مي باشد مثلا اگر 100 تا داده هاي نمونه يادگيري موجود است سيكل برابر با 100 مرحله تكرار مي گردد.
ب) نرم گراديان خطا خيلي كوچك باشد

جهت محاسبه حساسيت ها براي نرون هاي لايه هاي مختلف احتياج به مشتق گيري از توابع تبديل نرون ها مي باشد. از اين‌رو بايستي توابعي که به عنوان تابع تحريک مورد استفاده قرار مي گيرند، مشتق پذير باشند. به عبارت ديگر مشتق پذيري توابع محرک تنها محدوديتي است که در الگوريتم BP موجود مي باشد.

3-4-5- مدل نزديک ترين همسايه‌ها65
پيش بيني مسايل جديد بر مبناي مسائل مشابه که قبلا نتايج آن به دست آمده، يکي از رايج‌ترين و مطمئن ترين روش هاي مدل سازي و پيش بيني است. روش نزديک ترين همسايه ها هم از همين نوع مدل سازي است. شايان ذکر است که منظور از همسايه، نزديک ترين داده ها به داده مورد نظر است. در اين روش با بررسي نزديک ترين و شبيه ترين همسايه ها، بين آنها دسته بندي صورت گرفته و مورد جديد به دسته اي که تعداد بيش تري از همسايه ها به آن تعلق دارد، نسبت داده مي شود روش نزديک ترين همسايه ها يک الگوريتم مشاهده و يادگيري از طريق نظارت و بازررسي است که هدف آن دسته بندي داده جديد بر اساس داده هاي آموزش دهنده66 مي باشد. اولين گام اين روش، يافتن معياري براي ايجاد تمايز و دسته بندي داده هاست که بر اساس آن معيار مجموعه نزديک ترين همسايه ها را به چند دسته تقسيم کرده و چند نوع الگو ايجاد مي کند، تا با بررسي آماري بتواند داده جديد را طبق يکي از اين الگوها ايجاد کند. اين روش به لحاظ حجم محاسبات، بار زيادي روي رايانه اعمال مي کند، زيرا زمان محاسبه به صورت فاکتوريلي از تمام نقاط زياد مي شود و در نتيجه در مقايسه با روش هاي درختي نظير شبکه عصبي از سرعت کم تري برخوردار است.

فصل چهارم

4- روش المان محدود

4-1- مقدمه
المان محدود امروزه کاربردهاي فراواني در شاخه هاي مختلف مهندسي پيدا کرده است. اگرچه در ابتدا براي محاسبات سازه ها از آن استفاده شده است. اما هم اکنون در محاسبات انتقال حرارت، مکانيک سيالات، الکترومغناطيس و … فوايد خود را نشان داده است. در انتقال حرارت، ما مسائل توزيع دما را با کمک المان محدود و گرفتن شرايط مرزي و اوليه به راحتي قادر به محاسبه هستيم و فرقي نمي‌کند که شرايط پايا يا ناپايا باشد. در مکانيک سيالات از تحليل جريان تراکم ناپذير پايا گرفته تا جريان بسيار آشفته تراکم‌پذير همه از موضوعاتي است که تا المان محدود به کارمان خواهد آمد.
المان محدود روشي عددي براي حل مجموعه اي از معادلات حاکم بر سيستم هاي فيزيکي پيوسته است. براي اينکه هر جسم در روش المان محدود تحليل شود ابتدا مي بايست آن را به اجزاي کوچک‌تري که المان67 ناميده مي شود تقسيم کنيم. اين اجزا يا المان‌ها، در تعداد نقاط محدودي به هم اتصال پيدا مي کنند که به آنها گره68 گفته مي شود. ما معادلات حاکم بر حرکت هر يک از گره‌ها‌ را به‌دست آورده و به صورت همزمان (چند معادله ي چند مجهولي) حل مي کنيم و آخر با تحليل جواب هاي عددي معادلات، نتايج مورد نظر بدست مي آيند. با بدست آمدن حل عددي معادلات حاکم بر هريک از گره‌هاي اطراف يک المان ،رفتار آن المان مشخص مي شود و نهايتا با کنار هم قرار دادن نتايج حاصل از همه ي المان‌ها، رفتار يک سيستم فيزيکي تحت عملي خاص به‌دست مي آيد[84].
از آنجا که سيستم فيزيکي به المان‌ها و گره ها تقسيم مي شود، همه ي بارها و اثرات خارجي (شرايط مرزي) نيز مي بايست تبديل به مقادير گيرهاي و الماني شوند. نيروهاي متمرکزي چون F بر يک گره اعمال مي شوند اما نيروهاي فشاري چون P به صورت مساوي به هر يک از نودهاي محدوده ي اثر، اعمال خواهند شد. محدوده اتصالات ثابت مثل زمين نيز داراي معادلات خاص براي جابجايي خواهند بود.
از آنجا که اين محاسبات عددي هستند و ميزان خطاي آنها بسيار مهم است بايد گفت تا اينجا حداقل دو منبع خطا شکل گرفتند، اول اينکه حل در نظر گرفته شده با کمک المان‌ها با مقادير واقعي آن دقيقا مطابقت نمي کند. هر چه المان در نظر گرفته شده مناسب‌تر باشد، ميزان خطاي محاسبات کم تر خواهد بود.خوشبختانه بسياري از حل ها با کوچکتر کردن اندازه ي المان دقيق‌تر مي‌شوند، اما هميشه اين‌گونه نخواهد بود. خطاي بعدي، ميزان دقت معادله ي جبري است که ما ادعا مي‌کنيم بر شرايط فيزيکي حاکم است. ما هميشه با در نظر گرفتن فرضياتي، معادله ي حاکم را ساده‌تر مي‌کنيم و اين خود مقداري خطا بوجود مي آورد. بايد به خاطر داشته باشيم حل المان‌هاي محدود به شدت به کامپيوتر و برنامه نويسي رايانه اي وابستگي دارد و نبايد شرايط حاکم بر رايانه‌ها و روش‌هاي به‌کار رفته در آنها براي انجام محاسبات را فراموش کنيم.

4-2- تاريخچه روش عناصر محدود
گرچه نام عناصر محدود اخيرا به اين روش اطلاق گرديده است، اما اين مفهوم چندين قرن پيش نيز مورد استفاده قرار گرفته است. براي مثال رياضي دانان قديمي محيط دايره را با تقريب آن به يك چند ضلعي (محاطي يا محيطي) بدست مي آوردند. بر حسب نامگذاري امروزي هر ضلع اين چند ضلعي را مي توان يك المان محدود ناميد. با در نظر گرفتن چند ضلعي هاي تقريبي به صورت محاطي و محيطي مي توان به ترتيب يك حد پايين يا يك حد بالا براي مقدار دقيق محيط به دست آورد.
مشخص است كه با افزايش اضلاع چند ضلعي، دقت جواب ها69 افزايش يافته و مقادير تقريبي به مقدار كامل محيط همگرا70 مي شوند.
همراه با توسعه كامپيوترهاي ديجيتالي با سرعت‌هاي بالا، كاربرد روش عناصر محدود هم با نرخ فزايندهاي پيشرفت نمود. بعد از اينكه روابط عناصر محدود در حالت استاتيكي خطي توسعه يافت، كاربرد روش عناصر محدود در زمينه هاي ديگر نيز ادامه يافت. براي مثال مي توان زمينه هايي مانند پاسخ ديناميكي و ارتعاشي، كمانشي، غير خطي هندسي و مادي، اثرات حرارتي، اندركنش سازه و سيال، اندركنش سازه و اكوستيك، شكست، مواد مركب لايه اي، انتشار موج، ديناميك سازه هاي فضايي و هواپيما را نام برد.

4-3- مراحل اصلي تحليل عناصر محدود
انتخاب يك مدل رياضي براي يك مساله فيزيكي.
فرمول بندي مدل رياضي و حل آن و تفسير نتايج.
انواع مدل هاي تحليل يك سيستم مهندسي عبارتند از:
1- مدل پارامتر متمركز71 يا مدل گسسته سيستم72
2- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته73 يا مدل پيوسته سيستم74

4-4- مدل هاي رياضي
در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم، پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله حل تعداد محدودي متغير حالت75 توصيف مي گردد .براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعهاي از معادلات جبري بدست مي آيند.
به عنوان مثال، مدل رياضي يك سازه اسكلتي كه با استفاده از مباني تحليل ماتريسي سازه ها حل مي شود، يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم است.
در يك مدل رياضي پيوسته سيستم، پاسخ واقعي سيستم به وسيله بي نهايت متغير حالت توصيف مي گردد. براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، به جاي يك مجموعه از معادلات جبري، معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاكم مي باشد. حل كامل معادلات ديفرانسيل كه همراه با ارضاء تمامي شرايط مرزي باشد، تنها براي مدل هاي رياضي نسبتا ساده امكان پذير است.
روش‌هاي عددي، مدل هاي رياضي پيوسته سيستم را به صورت يك ايده آل سازي گسسته در مي‌آورند كه مي‌تواند به طريق مشابه مدل‌هاي پارامتر متمركز حل شود.

4-5- روش هاي مهم كلاسيك عددي
4-5-1-
روش ريتز76
روش ريتز يک روش عددي است که براي حل تقريبي معادلات ديفرانسيل بکار مي رود.
روش ريتز روي تابع انرژي پتانسيل کلي عمل مي کند(نه روي معادله ديفرانسيل مساله).
گام اساسي در روش ريتز آن است که جواب مساله به صورت تابع آزمون77 زير است.
4-1)

ai = ضرايب مجهول ريتز
fi = توابع ريتز
نکته مهم اين است که توابع (fi) بايد به گونه اي انتخاب شوند که شرايط مرزي را ارضا نمايند. دليل اين شرط ساده در توابع آزمون اين است که شرايط مرزي طبيعي به طور ضمني در تابع منظور شده اند.
در روش عناصر محدود، توابع (fi)، در واقع همان توابع شکل78 هستند که در ماتريس درون يابي تغيير مکان79 جاي مي گيرند. در روش عناصر محدود، ضرايب مجهول (ai)، در واقع همان تغييرمکان هاي تعميم يافته مجهول گرهي هستند، که در U جاي مي گيرند. در روش عناصر محدود تابع آزمون يا متغيرهاي حالت، همان توابع تغيير مکان تعميم يافته درون هر عنصر مي‌باشند.

4-5-1-1- معايب استفاده از روش تحليل ريتز
توابع ريتز در كل ناحية مورد نظر تعريف مي‌شوند. بنابراين در تحليل رايج ريتز ، ماتريس K يك ماتريس كامل است و با توجه به استفاده از توابع زيادتر، عمليات عددي مورد نياز براي حل معادلات جبري حاصل قابل توجه مي‌باشند .
يك دشواري خاص در تحليل رايج ريتز انتخاب توابع مناسب ريتز است ، زيرا جواب تحليل ، يك تركيب خطي از اين توابع مي‌باشد .
دشواري ديگر در تحليل رايج ريتز هنگامي پيش مي‌آيدكه كل ناحية مورد نظر از زير ناحيه‌هايي با انواع مختلف توزيع كرنش تشكيل شده باشد.

4-5-2- روش گالرکين80 به عنوان يك روش باقيمانده وزن دار
روش گالرکين يک روش عددي است که براي حل تقريبي معادلات ديفرانسيل بکار مي رود. اين روش روي معادله ديفرانسيل عمل مي کند )نه روي تابع انرژي پتانسيل کلي(.
تحليل يک مساله حالت پايا را با استفاده از فرمول بندي ديفرانسيلي زير در نظر مي گيريم:
4-2)

L عملگر ديفرانسيلي81 (بالاترين مرتبه مشتق در آن m2 است)
متغير حالت
r= تابع نيرويي82
به ازاي جواب دقيق، باقيمانده مذکور صفر است (R=0)
يک تقريب مطلوب به جواب کامل مي تواند به طور ضمني دلالت بر اين نکته نمايد که R در تمام نقاط ميدان حل، بايد کم ترين مقدار باشد. هر يک از روش هاي متنوع باقيمانده وزن دار، الگوريتم هاي مختلفي را براي مينيمم سازي R ارائه مي‌دهند.
تفاوت روش‌هاي متنوع باقيمانده وزن دار( از جمله روش گالرکين، روش کم ترين مربعات، روش زيرميدان، روش هم مکان در معيارهايي نهفته است که آن روش‌ها براي محاسبه ai به کار مي برند به گونه‌اي که R کمينه شود.
در روش گالرکين با مينيمم سازي R ، پارامترهاي ai از n معادله زير تعيين مي‌شوند:
که در آن D ميدان جواب است.
4-3)

i=1,2,…..,n

بنابراين در روش گالرکين يک دستگاه معادلات خطي بر حسب پارامترهاي ai ايجاد مي شود.

4-5-3- مقايسه روش ريتز و روش گالرکين
الف) در روش ريتز روي تابع عمل مي نماييم، در حالي که در روش گالرکين روي معادله ديفرانسيل حاکم بر مساله عمل مي نماييم.
ب) در روش ريتز توابع آزمون بايد m بار مشتق پذير باشند. در حالي که در روش گالرکين توابع آزمون بايد m2 بار مشتق پذير باشند، زيرا بالاترين مرتبه مشتق در معادله ديفرانسيل از مرتبه m 2 است.
ج)

دیدگاهتان را بنویسید